盾构隧道是由螺栓将管片连接而成的地下结构。大量研究表明，盾构隧道接头是结构的薄弱部位[1]，易受到地震、地层变形、施工和运营荷载等的影响[2－3]，其力学行为对衬砌结构受力特征有重要影响[4－7]。
针对管片接头，通常使用理论解析和加载试验的方法来研究其力学特征。在管片接头试验方面[8－14]，大多是以原型管片或局部接头加载试验为基础，对管片接头接缝面混凝土受力、螺栓受力及接缝张开量等进行研究。在管片接头理论解析方面，村上博智、小泉淳[15－17]通过假定接缝面混凝土受压区压力分布形式，包括矩形、抛物线形、三角形等，从而推导管片接头的力学模型[18－20]；张建刚和何川[21]提出了考虑管片接头处衬垫和端面混凝土共同变形的改进分层条带算法，从而推得管片接头力学模型；陈三江等[22－24]将接缝面混凝土视为刚性，不考虑变形，从而得到与连接螺栓、衬垫等形成的弹簧-刚性板模型；张冬梅等[25]将管片间的相互作用离散为一系列弹簧的组合，通过动态调整弹簧参数，计算接头的内力及张开量。此外还有学者[26]通过试验得到的大量数据样本，采用拟合的方式得到管片接头力学模型。
无论是试验还是理论模型，可以发现，管片接头受到轴力、弯矩和剪力三种力的共同作用。同时，由于接触的存在，管片接头接缝在轴向、弯曲及剪切三个方向上的力学性质会相互影响。但现有研究大多视切向为刚性，聚焦于接头的抗弯性能和接头张开量，一般仅考虑轴力与弯矩共同作用，使得考虑剪力作用下的管片接头解析模型较为匮乏。而当剪切力存在时，剪切作用使得接头位置或出现剪切位移，接缝处结构的接触状态变得更为复杂，以往基于接头切向为刚性这一假定而推导的接头力学模型或将不再适用。所以，考虑剪切作用对完善盾构隧道管片接头力学模型具有一定意义。
本文首先对盾构隧道管片接头的力学建模问题进行了界定，以位移为已知量，推导了考虑剪切作用下的管片接头力学模型，并参考既有的狮子洋盾构隧道工程，采用有限元法对该力学模型进行了验证。
1 考虑剪切作用的管片接头耦合力学模型
1.1 管片接头力学建模的基本问题
如图1所示，由于管片接头力学行为对管片受力的影响范围有限，这里假定受接头影响的区域的两侧边界为边界1和边界2(图1中边界位置仅为示意)，本文所讨论的管片接头力学问题即在接头影响区域内，如何将管片结构及螺栓在三方向上(轴向、转动、切向)的受力与变形位移通过力学关系式联系起来。
将管片接头影响区内的接头结构截出，如图2所示，这里是以斜螺栓为研究对象。为便于理论推导，假定螺栓两侧端头与结构混凝土的变形在同一刚性端面上，端面上螺栓与结构混凝土产生相同位移。接头主要影响两端面内区域，对以外的区域影响不大，故可按照梁结构对端面外区域进行分析。此时，当位移作为已知荷载时，即可分开推导螺栓与结构混凝土的力学模型，使问题简化。由于接头影响区域曲率很小，可以将此区域简化为直线。
图1 盾构隧道管片接头影响范围
Fig.1 Influence area of segment joint
图2 管片接头力学结构模型
Fig.2 Mechanical model of segment joint
接头影响区域轴向、转动及切向这几个方向上位移与力的关系，用式(1)表示。
式中：N1，V1，M1，N2，V2，M2分别表示左右两刚性端面上传递的轴力、剪力和弯矩；u1、v1、θ1、u2、v2、θ2分别表示左右两刚性端面上的轴向、切向和转动位移；kij(i, j = 1,2,…,6)为各自由度间的刚度系数。本文的目的是确定式(1)中的刚度系数，从而建立盾构隧道管片接头耦合力学模型。
1.2 接头耦合力学模型建立
图3为研究区域的螺栓及管片结构分析图，其中，x轴为分析区轴线，y轴位于左端面内。hj为斜螺栓右端至x轴的垂距。hf为x轴至研究区域顶面的距离，即研究区域高度的一半。α为斜螺栓与x轴的夹角，正向为顺时针向。lz、l分别为接缝面、右端面与左端面间距。考虑到推导时施加位移荷载的方便，约束左端面，在右端面施加相对位移，按式(2)～式(4)进行计算。
图3 接头结构受力分析图
Fig.3 Analyzing diagram of joint structure
推导过程分为螺栓力学方程的推导和考虑剪力下管片结构力学方程的推导两个部分，在求出各自的控制方程后合成总的刚度矩阵，得到考虑剪切作用下的管片接头耦合力学模型。
1.2.1 螺栓力学方程
右端面上螺栓端头的位移为：
将螺栓端头作为原点构建局部直角坐标系，如图3所示，n轴代表轴向，t轴代表切向。则在该坐标系下，螺栓端头的变形为：
式中，Δjn、Δjt分别表示轴向与切向这两个方向上的变形。
由此螺栓受力可表示为：
式中：Fjn和Fjt分别为螺栓所受轴力与剪力；与之对应的kjn和kjt分别为轴向和切向刚度，可通过对螺栓变形-力曲线作割线获得，如图4表示。P为螺栓预紧力；图4中dn和dt分别为两个方向上的变形量。
图4 螺栓变形曲线
Fig.4 Bolt’s deformation curves
右端面各方向的作用力为：
将Fjn和Fjt代入，并写为矩阵形式为：
其中：
1.2.2 考虑剪切的管片结构力学方程
对于管片结构，可在先推导无剪力作用的情况后，再考虑剪力作用，然后进行叠加合成。无剪力作用情况即弯曲与轴向变形，如图5所示。分别求解两种情况下的结构混凝土力学方程，然后进行合成，即可得到考虑剪切的管片结构力学方程。
图5 管片结构变形的分解
Fig.5 The deformation decomposition of segment
1) 弯曲与轴向变形下管片结构力学方程
于右端面施加轴向、切向和转动三个方向的位移，同时轴向位移u为0。若按梁考虑两端面内的管片结构，则端面内区域轴线上各位置的挠度可通过式(15)计算：
对式(15)求一阶及二阶导，可以得到区域内各个截面较左端面(被固定约束)的相对转角θ(x)和各截面轴向的曲率k(x)。当无剪力作用时，各截面轴向的曲率应相同，即：
求得：
说明当切向位移v满足式(17)时，管片结构中无剪力传递，不满足则存在剪力。
无剪力作用时，各截面轴线的轴向曲率为：
此时再考虑位移u，则研究区的轴线在轴向上的变形可通过式(19)表示：
对式(19)求导，可得到对应的应变：
对接缝面而言，其转角变化率即曲率k，如图6所示。则接缝面处受拉、受压区分界位置的坐标可通过轴向变形率e与曲率k之比表示：
式中，ho正负方向与y轴正负方向相同。
图6 接缝面不同接触形式划分
Fig.6 Different kinds of contact in joint surface
对接缝的接触形式，可通过分界坐标和轴向位移进行判定：
① 当u＞ 0，ho≥hf或ho≤-hf，无接触。
② 当u＜ 0，ho≥hf或ho≤- hf，全接触。
③ 当u≥0,0 ＜ho＜hf或u＜ 0，-hf＜ ho＜ 0，上部接触。
④ 当u≥0,-hf＜ho＜ 0或u＜ 0，0＜ ho＜hf，下部接触。
于是，接缝面上的应变函数为：
接缝面无法传递拉力，故式(22)为负值或为0。于是，右端面各自由度的作用力为：
式中：Ec为结构混凝土的弹性模量；Pj为式(14)存在的螺栓预紧力项。
对式(23)～式(25)分别进行积分。对不同接触状态，可以用一个总的矩阵表示，如式(26)所示。
其中：
式中：对接缝不同的接触状态，Ax为该接触状态下，接缝接触区域截面的面积；Sx、Ix分别为该接触状态下接缝区相接触的截面对截面形心的静面矩和惯性矩。
2) 剪力作用下的管片结构力学方程
当考虑剪力作用时，先求出右端面上作用有u、v、θ三个方向的位移下，无剪力作用状态(即弯曲和轴向变形)引起的位移。此时接缝面处有：
由于轴向变形仅在无剪状态下产生，故该状态下的轴向位移为：
同时，无剪状态下，接缝面处曲率k (lz) = k，故该状态下右端面的转角为：
将式(17)代入，得该状态下右端面上的切向位移：
则用右端面的总位移减去弯曲与轴力引起的位移即可得到剪力作用引起的位移：
对无剪切作用部分，有：
将式(30)和式(31)代入式(35)可得：
其中：
而对有剪切作用部分，按一般梁考虑，则对应力学方程可按式(37)表达：
将式(32)～式(34)代入式(37)可得：
其中：
将弯曲与轴向变形部分和剪力作用部分合并，同时考虑螺栓预紧力，则管片结构的力学方程可表示为：
代入得：
其中，若令ξ= lz / l，上式中：
1.2.3 刚度矩阵合成
由于螺栓与管片结构共同受力，则右端面处总的作用力可以按式(42)表示：
其中：
式(42)中的刚度系数可用式(43)表示。此时约束左端面，通过受力平衡条件即可推得含有左端面反力的力学方程，即式(44)。
将式(2)～式(4)代入式(44)，即可得到左右端面都有位移产生时的力学方程：
其中，K66为：
K66刚度阵各元素即为式(1)的对应各参数。之后，通过代入两侧端面上的位移矩阵[u，v，θ]或者力矩阵[N，V，M]，通过刚度矩阵，即式(1)，即可求解管片接头的受力、位移状态。
2 管片接头耦合力学模型验证
2.1 工程概况
狮子洋盾构隧道采用了C50混凝土，每环均布22颗纵向螺栓，使用“7+1”的分块方式。环向螺栓为斜螺栓，等级M36，与管片轴向呈30°角。隧道横断面结构形式见图7，B1～B5为标准管片，L1～L2为邻接块，F为封顶块，管片圆心角及纵向螺栓布置角度如图7所示。
2.2 接头模型验证
2.2.1 有限元法数值模型建立
图7 狮子洋盾构隧道横断面结构图
Fig.7 The structural diagram of Shizi Yang Shield Tunnel in transverse section
建立如图8所示有限元法模型。左面采用固定约束，三个方向上的位移荷载均施加于右面。荷载的取值范围根据既有研究确定[27]，其中u为−0.05 mm～0.05 mm，v为−0.5 mm～0.5 mm，θ为-0.0016 rad～0.0016 rad。对不同位移荷载组合工况进行计算，并记录模型右端中心节点处的N、V、M。
2.2.2 计算模型验证
1) 轴力N
图8 接头有限元模型
Fig.8 Joint model by finite element method
图9 计算图例示意图
Fig.9 Figure of the legend
为便于说明，图9为图例示意，FEM代表有限元法，MOD代表本文推导的计算模型。之后的剪力、弯矩均使用相同的图例。图10为两种方法计算下的轴力N在各工况下的变化情况。可以看出，有限元法与本文提出的计算模型计算得到的规律吻合较好：轴向位移和转动位移条件固定时，切向位移对轴力的变化略有影响；轴向位移与切向位移条件固定，轴力随转动位移的增大而增大；转动位移与切向位移条件固定，随着轴向位移的增大，轴力逐渐减小。
对轴力而言，本文提出的模型(后简称“模型”)的计算结果较有限元法大。当剪切位移趋近于0时，两种方法的结果差别较小，此时相当于本文提到的无剪力作用情况。
2) 剪力V
图11为两种方法计算下的剪力V在各工况下的变化情况。两种方法计算得到的规律大致相同：轴向位移和转动位移条件固定，剪力对剪切位移的变化较为敏感，且随剪切位移的增大而增大；轴向位移与切向位移条件固定，剪力随转动位移的增大而增大；转动位移与切向位移条件固定，剪力随轴向位移增大而略微减小。
图10 不同计算工况下的轴力变化
Fig.10 Tension varies under the different working conditions
此外，在相同轴向位移与转动位移条件下，存在某一剪切位移值，该值下两种方法的计算结果差别较小，而偏离该值后，差别增大。当轴向位移为负值时，两种方法的结果差别较小。而随着轴向位移向正值增大，两者在剪切位移绝对值较小时差别较大。整体上模型得到的结果较有限元法稍小。
图11 不同计算工况下的剪力变化
Fig.11 Shear varies under the different working conditions
3) 弯矩M
图12为两种方法计算下的弯矩M在各工况下的变化情况。有限元法与本文模型的计算结果规律相吻合：轴向位移和转动位移条件固定时，弯矩随切向位移的增加而增大；轴向位移与切向位移条件固定，转动位移越小，弯矩越小；转动位移与切向位移条件固定，轴向位移越大，弯矩越小。
对比两种计算方法，模型的计算结果比有限元法的计算结果稍大，但整体差别较小。
图12 不同计算工况下的弯矩变化
Fig.12 Moment varies under the different working conditions
3 结论
(1) 本文提出了一种管片接头多自由度耦合力学模型的建立方法。位移作为已知量，分别对接头研究区域内的螺栓和管片结构进行力学推导，得到各自的刚度矩阵。之后对刚度矩阵进行合成，得到接头总刚度矩阵，从而建立考虑剪切作用的管片接头耦合力学模型。
(2) 完成了考虑剪切作用下的管片接头力学模型推导。推导了考虑剪切作用时螺栓的力学方程；对于管片结构，在推导管片结构在无剪力作用下的变形的基础上，与剪力引起的变形进行叠加，得到考虑剪切作用时的管片结构力学方程。
(3) 以狮子洋盾构隧道为依托，采用有限元法对本文推求的模型进行了验证。结果表明：在本文荷载范围内，两种方法所呈现的规律相同，具有良好的一致性；总体上，本文模型的计算结果稍大，以此结果为依据进行管片设计偏安全。
(4) 对比以往的研究[27-30]，本文建立的模型考虑了轴向、剪切及弯曲三个方向上荷载的耦合作用，使之更符合接头的实际受力、变形情况。当求得接头刚度矩阵后，即可较容易地计算管片接头的内力或位移，便于工程应用。
[1]Kashima Y, Kondo N, Inoue M.Development and application of the DPLEX shield method: Results of experiments using shield and segment models and application of the method in tunnel construction[J].Tunneling and Underground Space Technology, 1996,11(1): 45－50.
[2]日本土木学会.盾构隧道管片设计—从容许应力设计法到极限状态设计法[M].北京: 中国建筑工业出版社, 2012: 26－27.Japan Civil Society.Segment design of shield tunnel -from allowable stress design to limit state design[M].Beijing: China Construction Industry Press, 2012: 26－27.(in Chinese)
[3]李宇杰, 何平, 秦东平.盾构隧道管片纵缝错台的影响分析[J].工程力学, 2012, 29(11): 277－282.Li Yujie, He Ping, Qin Dongping.Influence analysis on longitudinal dislocation for shield tunnel segment[J].Engineering Mechanics, 2012, 29(11): 277－282.(in Chinese)
[4]Nakamura H, Kubota T, Furukawa M, et al.Unified construction of running track tunnel and crossover tunnel for subway by rectangular shape double track cross-section shield machine[J].Tunneling and Underground Space Technology, 2003, 18(2): 253－262.
[5]Molins C, Arnau O.Experimental and analytical study of the structural response of segmental tunnel linings based on an in situ, loading test: Part 1: Test configuration and execution[J].Tunneling and Underground Space Technology, 2011, 26(6): 764－777.
[6]Arnau O, Molins C.Experimental and analytical study of the structural response of segmental tunnel linings based on an in situ loading test.Part 2: Numerical simulation[J].Tunneling and Underground Space Technology, 2011,26(6): 778－788.
[7]徐国文, 王士民, 汪冬兵, 基于接头抗弯刚度非线性的壳-弹簧-接触-地层模型的建立[J].工程力学, 2016,33(12): 158－166.Xu Guowen, Wang Shimin, Wang Dongbing.Shell-spring-contact-ground model based on segment joint stiffness nonlinearity[J].Engineering Mechanics,2016, 33(12): 158－166.(in Chinese)
[8]张力, 封坤, 方若全, 等.盾构隧道原型管片接头抗弯性能试验[J].土木工程学报, 2017, 50(增刊2): 220－230.Zhang Li, Feng Kun, Fang Ruoquan, et al.Experiment study on flexural performance of prototype segment joint of shield tunnel[J].China Civil Engineering Journal,2017, 50(Suppl2): 220－230.(in Chinese)
[9]刘四进, 封坤, 何川, 等.大断面盾构隧道管片接头抗弯力学模型研究[J].工程力学, 2015, 32(12): 215－224.Liu Sijing, Feng Kun, He Chuan, et al.Study on the bending mechanical model of segmental joint in shield tunnel with large cross-section[J].Engineering Mechanics, 2015, 32(12): 215－224.(in Chinese)
[10]封坤, 何川, 肖明清.高轴压作用下盾构隧道复杂接缝面管片接头抗弯试验[J].土木工程学报, 2016, 49(8):99－110+132.Feng Kun, He Chuan, Xiao Mingqing.Bending tests of segment joint with complex interface for shield tunnel under high axial pressure[J].China Civil Engineering Journal, 2016, 49(8): 99－110+132.(in Chinese)
[11]周海鹰, 陈廷国, 李立新.地铁区间盾构隧道衬砌接头的荷载试验[J].工业建筑, 2010, 40(4): 79－83.Zhou Haiying, Chen Tingguo, Li Lixin.Study on joint load test of metro shield tunneling lining[J].Industrial Construction, 2010, 40(4): 79－83.(in Chinese)
[12]于宁, 白廷辉, 朱合华.盾构隧道预应力管片接头的模型试验研究[J].地下空间与工程学报, 2009, 5(3):439 －444, 449.Yu Ning, Bai Tinghui, Zhu Hehua.Model experimental study on stiff of precast and prestressed concrete lining in shield tunnel[J].Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2009, 5(3): 439－444, 449.(in Chinese)
[13]张厚美, 傅德明, 过迟.盾构隧道管片接头荷载试验研究[J].现代隧道技术, 2002(6): 28-33+41.Zhang Houmei, Fu Deming, Yu Chi.Study on load test of segment joint in shield driven tunnel[J].Modern Tunneling Technology, 2002(6): 28-33+41.(in Chinese)
[14]郭瑞, 何川, 苏宗贤, 等.盾构隧道管片接头抗剪力学性能研究[J].现代隧道技术, 2011, 48(4): 72-77.Guo Rui, He Chuan, Su Zongxian, et al.Study of shearing mechanical properties of segment joints of shield tunnels[J].Modern Tunneling Technology,2011, 48(4): 72－77.(in Chinese)
[15]村上博智.シールド工事用セグメントのセグメント継手の挙動について[J].土木学会論文報告集, 1980:296.Haruki Murakami.Action on segment joints for shield tunneling[J].Collection of Papers of Civil Society,1980, 296.(in Japanese)
[16]Iftimie T.Design consideration and testings in shield driven tunnels[C]// ITA International Congress Towards New Worlds in Tunneling.Acapulco, Mexico: AA Balkema Publishers, 1992: 321－326.
[17]Iftimie T.Prefabricated lining, conceptional analysis and comparative studies for optimal solution[C]// ITA International Congress Tunneling and Ground Conditions.Cairo, Egypt: AA Balkema.1994: 136A－137A.
[18]黄钟晖.盾构法隧道管片衬砌纵缝接头受力模型的研究[J].地下空间, 2003, 23(3): 296－301.Huan Zhonghui.Study on stress model of longitudinal joint of segment lining in shield tunnel[J].Underground Space, 2003, 23(3): 296－301.(in Chinese)
[19]曾东洋, 何川.地铁盾构隧道管片接头刚度影响因素研究[J].铁道学报, 2005, 27(4): 90－95.Zeng Dongyang, He Chuan.Study on factors influential in metro shield tunnel segment joint bending stiffness[J].Journal of The China Railway Society, 2005, 27(4): 90－95.(in Chinese)
[20]朱伟, 钟小春, 秦建设.盾构衬砌管片接头力学分析及双直线刚度模型研究[J].岩土力学, 2006, 27(12): 2154－2158.Zhu Wei, Zhong Xiaochun, Qin Jianshe.Mechanical analysis of segment joint of shield tunnel and research on bilinear joint stiffness model[J].Rock and Soil Mechanics, 2006, 27(12): 2154－2158.(in Chinese)
[21]张建刚, 何川.管片接头力学解析法: 改进条带算法[J].铁道学报, 2013, 35(3): 102－107.Zhang Jiangang, He Chuan.Mechanical calculation method of segmental joints: Improved strip method[J].Journal of the China Railway Society, 2013, 35(3): 102－107.(in Chinese)
[22]陈三江.盾构法隧道衬砌接头受力机理分析[D].上海:同济大学, 1985.Chen Sanjiang.Stress mechanism analysis of lining joint of shield tunnel[D].Shanghai: Tongji University, 1985.(in Chinese)
[23]蒋洪胜, 侯学渊, 刘建航.盾构法隧道管片接头受力模式识别系统的研究[J].山东大学学报(工学版), 2002,32(4): 354－357.Jiang Hongsheng, Hou Xueyuan, Liu Jianhang.Study of the mechanical model distinguish system of the joint in the shield tunnel segments[J].Journal of Shandong University of Technology, 2002, 32(4): 354－357.(in Chinese)
[24]蒋洪胜, 侯学渊.盾构法隧道管片接头转动刚度的理论研究[J].岩石力学与工程学报, 2004, 23(9): 1574－1577.Jiang Hongsheng, Hou Xueyuan.Theoretical study of rotating stiffness of joint in shield tinnel segments[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2004, 23(9): 1574－1577.(in Chinese)
[25]张冬梅, 樊振宇, 黄宏伟.考虑接头力学特性的盾构隧道衬砌结构计算方法研究[J].岩土力学, 2010, 31(8):2546－2552.Zhang Dongmei, Fan Zhengyu, Huang Hongwei.Calculation method of shield tunnel lining considering mechanical characteristics of joints[J].Rock and Soil Mechanics, 2010, 31(8): 2546－2552.(in Chinese)
[26]张厚美.装配整体式双层衬砌接头荷载试验与结构计算理论——南北北调中线穿黄隧洞结构计算模型研究[D].上海: 同济大学, 2000.Zhang Houmei.Load test and structural calculation theory of assembled monolithic double-layer lining joints:Structural calculation model of Yellow River tunnel in the middle route of the North-South Diversion Project[D].Shanghai: Tongji University, 2000.(in Chinese)
[27]陈必光, 郭小红, 陈卫忠.盾构隧道无衬垫接头抗弯性能的解析研究[J].现代隧道技术, 2015, 52(4): 128－135.Chen Biguang, Guo Xiaohong, Chen Weizhong.Analytical study of the flexural behaviors of non-gasket segment joints in shield tunnels[J].Modern Tunneling Technology, 2015, 52(4): 128－135.(in Chinese)
[28]张厚美, 过迟, 付德明.圆形隧道装配式衬砌接头刚度模型研究[J].岩土工程学报, 2000(3): 309－313.Zhang Houmei, Yu Chi, Fu Deming.A study on the stiffness model of circular tunnel prefabricated lining[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2000(3):309－313.(in Chinese)
[29]师永翔, 赵武胜.大直径盾构隧道管片接头抗弯性能研究[J].现代隧道技术, 2013, 50(1): 115－122, 133.Shi Yongxiang, Zhao Wusheng.Research of flexural rigidity of the segment joint of a large-diameter shield tunnel[J].Modern Tunneling Technology, 2013, 50(1):115－122, 133.(in Chinese)
[30]孙文昊, 焦齐柱, 薛光桥, 等.盾构隧道管片无衬垫接头抗弯刚度研究[J].地下空间与工程学报, 2008(5):973－978.Sun Wenhao, Jiao Qizhu, Xue Guangqiao, et al.Study on bending stiffness of no-liner segment joint in shield tunnel[J].Chinese Journal of Underground Space and Engineering, 2008(5): 973－978.(in Chinese)