波纹管是干气密封中常用的弹性元件，干气密封结构中的弹性元件是影响其膜厚的一个重要元素，因此，波纹管直接影响着干气密封的密封性能。波纹管已经在机械密封中得到了广泛应用，其主要优点在于：焊接金属波纹管不仅起着补偿及缓冲因动磨损、轴向串动及振动等原因产生的轴向位移，同时还起着使动环随旋转轴一起旋转的作用[1―2]。然而由于结构形状复杂,难以得到简单而又准确的计算。Nuer等[3]通过利用软件对波纹管建立了有限元模型，得到了波纹管的弹簧刚度；较多学者利用软件对金属波纹管膜片的研究，确定了膜片的应力分布和变形情况[4-9]；Zhang等[10]利用Pro-E软件分别建立了单圆弧焊接金属波纹管、双圆弧焊接金属波纹管和三圆弧焊接金属波纹管的有限元模型，并引入ANSYS软件进行了模态分析，分别得到了它们的固有频率和振动模态，并进行了分析比较。随着对波纹圆板的实验和理论研究的不断进行[11―16]，Murphy[17]采用梁理论对不同形式回转壳体波纹管的应力和应变进行分析；Aleksander等[18]把在轴对称载荷作用下波纹管认为是波纹的旋转壳，得出了U形膨胀波纹管在内压载荷作用下的应力-应变状态；对于波纹管理论分析方面的研究较少，袁鸿和刘人怀[19]采用轴对称旋转壳体理论,研究了在均布载荷作用下具有硬中心的带边缘大波纹膜片的非线性弯曲问题，应用积分方程方法,获得了具有夹紧固定和滑动固定两种外边界膜片的特征关系，即荷载-中心挠度曲线。刘人怀等[20―21]建立了波纹扁球壳的非线性弯曲理论，利用该理论和改进的迭代方法，得到了在均匀压力作用下具有刚性夹紧边的波纹扁球壳的临界屈曲压力的解析解。
由于波纹管结构的复杂性，利用有限元软件进行数值求解的较多。本文尝试利用拟壳法对单圆弧膜片建立精确力学模型，将其简化为具有初始挠度的圆环板，采用文献[13]的研究方法，其中修正迭代法利用迭代原理，能够快速地求解出膜片的解析解。利用薄壳的非线性大挠度理论，用修正迭代法求解单圆弧波纹管膜片的大挠度方程，从而得到了精确度较高的二次解析解，讨论了波纹管膜片在圆弧最大变形处的挠度和载荷的关系，波纹管的微小变形将直接影响密封气膜流场，对波纹管优化设计提供理论依据。
1 基本方程和边界条件
单圆弧型波纹管膜片是一个轴对称结构的圆环薄壳单元，如图1所示。取单个膜片的半波剖面，如图2所示。具有初始挠度圆环薄板的厚度为h，圆环薄板的内外半径分别为c、a，圆弧波长为2R，膜片的外边界固定，内边界自由。圆环薄板的初始挠度为w0。单圆弧波纹膜片受到的介质压力认为是均布载荷q，将两个膜片之间的相互作用力处理为单个膜片在自由端受到集中力P，集中力P=K·X，其中K为膜片的刚度，X为膜片的压缩量。对图3所示的膜片力学模型的非线性大变形进行计算。采用拟壳法将单圆弧波纹管膜片看作是具有初始挠度的圆环薄板，建立柱坐标系：r为径向坐标；w为挠度；Nr为径向薄膜力。
图1 膜片的立体视图
Fig.1 Spatial view of diaphragm
图2 膜片的几何模型剖视图
Fig.2 Cutaway view of diaphragm’s geometric model
图3 膜片力学模型
Fig.3 Mechanical model of diaphragm
选取初始挠度：
单圆弧波纹管膜片轴对称结构受到的载荷为轴对称，从而引起的变形是轴对称变形，单圆弧波纹管膜片的基本方程组[22―23]：
式中，“
”和“
”为引入的两个关于a的阶梯函数，分别为：
其中：E为弹性模量；
为泊松比；w0为初始挠度。
其边界条件为：
固定周边处，
自由周边处，
连续处，
式中：(·)1表示外部无初始挠度圆环薄板；(·)2表示具有初始挠度的圆环薄板；(·)3表示内部无初始挠度圆环薄板。
为了计算方便，引入下列无量纲量：
将这些量代入方程组式(2)和方程组式(3)简化可以得到如下的无量纲控制方程：
式中：
算子：
由无量纲表示的边界条件为：
固定周边处，
自由周边处，
连续处，
连续处，
2 对基本方程求解
单圆弧波纹管膜片的圆弧位于膜片中间部分，采用拟壳法将膜片看作具有初始挠度的圆环薄板，单圆弧膜片由部分组合而成，外部无初始挠度圆环薄板、中间部分具有初始挠度的圆环薄板和内部无初始挠度圆环薄板。利用修正迭代法[11]对膜片的挠度W进行二次近似求解。
2.1 外部无初始挠度圆环薄板的基本方程求解
当b/a≤x≤1时，外部无初始挠度圆环薄板的基本方程为：
利用修正迭代法对基本方程式(14)进行求解。
对于一次近似，有：
由方程组式(15)一次近似求解可得到无量纲挠度
和无量纲薄膜力
其中：
式中，g1、g2均为单圆弧波纹管膜片一次近似求解中薄膜力
表达式中的积分常数，它们由单圆弧膜片的边界条件和连续性条件来确定。
对于二次近似，有：
将式(16)和式(17)代入式(18)求解出外部无初始挠度圆环薄板的二次近似的大挠度
。
2.2 具有初始挠度的圆环薄板的基本方程求解
当d/a≤x≤b/a时，具有初始挠度的圆环薄板的 基本方程为：
利用修正迭代法对基本方程式(19)进行求解。
对于一次近似，有：
由方程组式(20)一次近似求解可得到无量纲挠度
和无量纲薄膜力
。
其中：
式中，g3、g4均为单圆弧波纹管膜片一次近似求解中薄膜力
表达式中的积分常数，它们由单圆弧膜片的边界条件和连续性条件来确定。
对于二次近似，有：
将式(21)和式(22)代入式(23)求解出具有初始挠度的圆环薄板的二次近似的大挠度
。
2.3 内部无初始挠度圆环薄板的基本方程求解
当c/a≤x≤d/a时，内部无初始挠度的圆环薄板的基本方程为：
利用修正迭代法对基本方程式(24)进行求解。
对于一次近似，有：
由方程组式(25)一次近似求解可得到无量纲挠度
和无量纲薄膜力
。
有解为：
其中：
式中，g5、g6均为单圆弧波纹管膜片一次近似求解中薄膜力
表达式中的积分常数，它们由单圆弧膜片的边界条件和连续性条件来确定。
对于二次近似，有：
将式(26)和式(27)代入式(28)求解出内部无初始挠度圆环薄板的二次近似的大挠度
。
3 数值计算和结果分析
选取试验参数，波纹管材料的弹性模量E=187 GPa，泊松比μ=0.3，单圆弧膜片的外径为a=37 mm，内径为c=27 mm，膜片波长为2R，膜片的厚度均为h=0.3 mm。由单圆弧波纹管膜片的边界条件和连续性条件，通过对各级迭代方程进行计算得到各级方程的积分常数。
将上述数据代入文献[20]，可得到波纹环形板在自由端处的载荷和挠度的关系式，选取圆弧的矢高f=0.25 mm，波长2R=6 mm，膜片受到集中力P的作用。可得到文献[20]中对应的载荷和挠度的关系式为：
通过计算可以得到单圆波纹管弧膜片在自由端的载荷和挠度的关系式为：
由文献[20]得到单圆弧波纹管膜片在自由端处载荷与挠度的特征关系式和文中通过计算得到的特征关系式对比如图4所示，可以看出本方法的结果具有较好的精确性。
图4 本文计算结果和文献[20]计算结果对比图
Fig.4 Comparisons between the calculated results in this manuscript and those in Ref [20]
由一次近似解可得到挠度与载荷的线性关系，取圆弧部分膜片最大挠度处的挠度为Wc，则有W1=Wc。波纹管膜片圆弧部分在最大变形处发生小挠度变形时，载荷和挠度呈现线性关系，则此时在波纹管膜片最大变形处挠度Wc和载荷Q0的特征曲线如图5所示。
图5 单圆弧波纹管膜片的小挠度平衡路径
Fig.5 Balance path of small deflection for single arc bellows diaphragm
图5(a)给出波长固定(2R=6 mm)时，不同类型的载荷作用在单圆弧波纹管膜片时膜片发生的线性弯曲变形，图5(b)给出膜片受到复合载荷(β1=1，β2=1)时，不同波长的膜片发生的线性弯曲变形。
由二次近似解可得到挠度与载荷的非线性线性关系，取膜片圆弧部分发生最大变形处的挠度为Wc，则有W2=Wc。则波纹管膜片圆弧部分最大变形处挠度Wc和载荷Q1的关系如图6和图7所示。
图6 单圆弧膜片矢高变化下膜片的大挠度平衡路径
Fig.6 Balance path of large deflection of single arc diaphragm under variation of vector height
图6给出了单圆弧波纹管膜片在不同载荷作用下圆弧最大变形处挠度的三次特征关系式的特征曲线，反映了不同载荷和不同矢高作用下的弯曲情况。图6(a)～图6(c)在波长固定不变(2R=4 mm，2R=4 mm，2R=6 mm)膜片承受均布载荷(β1=1，β2=0)、集中力(β1=0，β2=1)和复合载荷(β1=1，β2=1)作用，增大波纹管圆弧处的矢高，膜片的大挠度平衡路径发生变化；当膜片无圆弧(f=0 mm)时,膜片受到载荷时越容易发生变形；随着波纹管膜片圆弧矢高的增加(f=0.25 mm，f=0.50 mm，f=0.75 mm)，膜片受到载荷作用时使膜片发生的变形达到平衡路径越容易，膜片的承载能越强；随着圆弧挠度的增加，膜片发生变形所需要的载荷呈现较强的非线性增加。
图7 单圆弧膜片圆弧波长变化下膜片的大挠度平衡路径
Fig.7 Balance path of large deflection of single arc diaphragm under variation of arc wavelength
图7给出了单圆弧波纹管膜片在不同载荷作用下圆弧最大变形处挠度的3次特征关系式的特征曲线，反映了不同载荷和不同波长下的弯曲情况。图7(a)～图7(c)在矢高固定不变(f=0.75 mm，f=0.75 mm，f=0.50 mm)膜片承受均布载荷(β1=1，β2=0)、集中力(β1=0，β2=1)和复合载荷(β1=1，β2=1)作用，增大波纹管圆弧的波长，膜片的大挠度平衡路径发生变化；当膜片圆弧的波长(2R=4 mm)时，膜片受到载荷时越容易发生变形；随着波纹管膜片圆弧波长的增加(2R=4 mm，2R=6 mm，2R=8 mm)，膜片受到载荷作用时使膜片发生的变形达到平衡路径越容易，膜片的承载能越强；随着圆弧挠度的增加，膜片发生变形所需要的载荷呈现较强的非线性增加。
4 结论
(1) 用薄板理论研究了单圆弧波纹管膜片的非线性大变形。在等效连续化方法的基础上，用拟壳法将单圆弧膜片转化为连续的圆环薄板，用修正迭代法对其进行了求解。
(2) 随着单弧膜片的矢量高度的增加，膜片的挠度非线性增大，随着单弧波纹管膜片的弧长变长，膜片的挠度非线性增大。单圆弧波纹管膜片中圆弧部分的初始挠度越大，膜片的承载能力就会越强；圆弧部分波长越长，膜片的承载能力就会越强。
(3) 单圆弧波纹管膜片发生的变形不仅与膜片本身具有的性质有关，而且与膜片的结构形状也有关，合理地选择波纹管膜片的矢高和波长，可以优化波纹管的设计，使干气密封的效果达到最佳。
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