起始于20世纪90年代中期的“基于性能地震工程(Performance-Based Earthquake Engineering,PBEE)”理论和“基于性能抗震设计(Performance-Based Seismic Design，PBSD)”方法[1―10]，早已得到土木工程和地震工程领域众多专家、学者和工程师们的广泛共识。PBEE和PBSD的核心思想是使所设计的结构在设计基准期内，在未来的地震灾害作用下，能够满足各种预定的性能目标或功能要求，并具有清晰明了的显式表达的风险水平。
由于地震的强烈随机性、地震动的复杂性以及结构存在的不确定性，工程结构的抗震性能本质上也是随机的、不确定的，但是第一代基于性能抗震设计规范本质上是确定性的[1―4,8]。为了充分考虑地震发生的随机性和结构自身的不确定性，并满足用户、业主、投资者等各方利益相关者对性能目标的显式要求，2000年以后，关于PBEE和PBSD的研究正在从第一代基于性态性能目标(Behavior-Based Performance Objectives)的确定性框架向第二代基于可靠度和风险为性能目标(Reliability-Based and Risk-Based Performance Objectives)的全概率范式转移。其主要标志就是美国太平洋地震工程研究中心(Pacific Earthquake Engineering Research Center，PEER)学者Cornell、Krawinkler、Moehle、Deierlein[11―12]建立的第二代PBEE全概率框架。最能体现第二代PBEE理念的就是ATC-58项目经过长达10年之久所出版的报告FEMA P-58[13]，这些报告给出了工程结构的全概率抗震性能评定方法。
第二代PBEE理论将结构在地震作用下破坏时产生的直接经济损失(Dollars)、间接经济损失(Downtime)和人员伤亡损失(Death)作为新的性能参数(所谓的3个“D”)，通过图1所示的全概率风险评估框架对结构的抗震性能进行概率量化和表征[11―12]。该理论将地震风险作为结构的性能目标，将概率抗震性能评定分解为四个部分：场地危险性分析、需求分析、损伤分析和损失分析，其中：危险性模型是场地危险性分析的基础，需求模型将地震动强度参数(IM)与工程需求参数(EDP)联系起来，损伤分析取决于结构的抗震能力模型，而损失分析则取决于结构的损失模型。
图1 第二代基于性能地震工程的理论框架
Fig.1 Theory framework of the 2nd-generation PBEE
根据第二代PBEE理论以及FEMA P-58报告，图1中的第三个模块也称为“易损性分析”，能力模型也称为“易损性模型”，这与通常意义上的“地震易损性”[14―17]的概念并不一致。根据传统地震风险理论的定义，地震风险是地震危险性、地震易损性和地震损失的乘积[14―15]。其中，地震易损性是在给定强度的地震作用下，结构达到或超过某种破坏状态时的条件失效概率，相当于结构的“广义抗力”，代表了结构抵抗地震作用的整体抗力，是结构整体抗震性能的一种概率描述[15]。而第二代PBEE理论中的地震易损性则主要是指结构构件和非结构构件的抗震能力，与传统地震风险理论中的地震易损性定义和内涵并不相同。
为了澄清上述概念上的不一致性，本文首先介绍地震风险理论中地震易损性的定义和概率模型，然后指出第二代PBEE理论中存在五个层次的地震易损性模型；为了将第二代PBEE理论与地震风险理论相协调，本文提出“正向PBEE”和“逆向PBEE”的概念，从而将第二代PBEE理论与地震风险理论统一在一致的理论框架内。
1 地震易损性的定义与概率模型
1.1 地震易损性函数与地震易损性曲线
地震易损性(Seismic Fragility)定义为在发生某种强度的地震条件下工程结构达到或超过某种破坏状态(Damage State，DS)的条件概率[15―16]：
式中：IM为地震动强度参数(Intensity Measure)，例如峰值地面加速度(PGA)、谱加速度Sa、谱位移Sd等；LS表示结构达到某种极限状态(Limit State)，即结构的地震损伤达到或超过某种破坏状态DS，若以DS*表示达到或超过某种破坏状态DS的极限状态，则显然LS=DS*；根据条件概率的性质可知，条件极限状态概率P[LS|IM=x]为x的函数，因此FR(x)称为“地震易损性函数”。
地震易损性从概率的意义上描述了结构抵抗某种地震破坏等级(达到或超过某种极限状态)的能力，是用地震动强度参数来表达的一种“广义能力R”[15―16]。若用FIM,C(x)表示结构广义抗震能力的概率分布函数，则地震易损性函数实际上是用地震动强度参数表示的结构广义抗震能力的概率分布函数，即：
相应的概率分布曲线称为“地震易损性曲线”。
地震工程中通常将结构的破坏状态分为五个破坏等级：基本完好、轻微破坏、中等破坏、严重破坏、完全破坏(即倒塌)，若以DSi(i=1,2,…,5)表示上述五个等级的破坏状态，以
(i=1,2,…,4)表示达到或超过破坏等级DSi的极限状态LSi，则相应于极限状态LSi(或
)的地震易损性函数可以表示为：
式中，FRi(x)表示相应于极限状态LSi的地震易损性函数。图2描述了地震易损性曲线与极限状态和破坏状态之间的关系，这些易损性曲线描述了给定地震动作用下结构达到或超越某一级破坏状态的概率[16]。
图2 地震易损性曲线示意图
Fig.2 Schematic of seismic fragility curves
在PBEE理论中，破坏状态DSi和极限状态LSi(或
)与工程结构的性能水准(Performance Level，PL)相对应，例如，对于以下四种极限状态：轻微破坏LS1(或
)、中等破坏LS2(或
)、严重破坏LS3(或
)、完全破坏LS4(或
，即DS5)，相应的性能水准分别为：立即居住(Immediate Occupancy，IO)、生命安全(Life Safety，LS)、防止倒塌(Collpase Prevention，CP)、开始倒塌(Incipient Collapse，IC)。
1.2 地震脆弱性函数与地震脆弱性曲线
很多文献将地震易损性与地震脆弱性的概念混淆。本文将地震脆弱性(Seismic Vulnerability)定义为在发生某种强度的地震条件下工程结构处于某种破坏状态的条件概率：
式中，FDSi(x)称为“地震脆弱性函数”，它与地震易损性函数FRi(x)的关系为[16]：
地震脆弱性曲线如图3所示。
图3 地震脆弱性曲线
Fig.3 Schematic of seismic vulnerability curves
1.3 地震易损性的概率模型
由于地震易损性函数FR(x)是用地震动强度参数表示的结构广义抗震能力R的概率分布函数，因此各种概率分布模型都可以用来描述地震易损性函数，例如：正态分布、对数正态分布、Beta分布、Weibull分布、Logistic分布，等等；但是目前使用最多的仍然是对数正态分布[14-17]：
式中：Φ(⋅)为标准正态随机变量的概率分布函数；λR=μlnR和ζR=σlnR 分别为广义抗震能力R的对数平均值和对数标准差，在地震易损性的研究文献中，ζR通常也记为βR，并称为“离差(Dispersion)”。
由于对数正态分布随机变量R的中位值mR与对数平均值λR存在如下关系：
若用离差Rβ代替对数标准差Rζ，并将式(7)代入式(6)中，则可得到地震易损性函数的常见形式[14-17]：
式中，中位值mR为相应于破坏概率为50%的地震易损性曲线上的分位值，该值控制着易损性曲线的中心位置，mR值越大，说明结构的抗震能力越强；离差βR表示影响地震易损性的不确定性程度的大小，该值控制着易损性曲线的形状，βR值越大，说明不确定性对结构的抗震能力影响越大；特殊地，对于不考虑不确定性的完全确定性结构，βR=0，此时易损性曲线退化为阶跃函数形式，如图4所示。
图4 地震易损性曲线的特征
Fig.4 Characteristics of seismic fragility curve
若考虑结构建模、专家经验等知识不确定性(Epistemic Uncertainty)对地震易损性的影响，则式(8)中的离差Rβ可以进一步地表示为：
式中，βRR和βRU分别为考虑偶然不确定性(即通常所说的随机性)的离差和考虑知识不确定性的离差。
根据式(6)可知，能力R以对数平均值为“中心”的一倍离差上限和下限分别为：
式中：
为以λR为中心的一倍离差上限，即相应于84%的分位值；
为以λR为中心的一倍离差下限，即相应于16%的分位值。
将式(7)代入式(10)中，可得：
将式(11)代入式(8)中，可得地震易损性函数的上限和下限分别为：
式中，
(x)和
(x )分别为地震易损性函数FR(x)的一倍离差上限和下限，如图5所示。
图5 地震易损性曲线的上下限
Fig.5 Bounds of seismic fragility curve
概率模型确定以后，地震易损性分析的主要任务就是根据实际震害调查数据或数值模拟分析数据，采用统计学方法对分布参数mR和βR进行估计，通常采用极大似然估计(Maximum Likeliness Estimation, MLE)法，似然函数一般取为[18]：
式中：N为样本总数；Ii为指标参数，当结构在地震动强度Sa=xi 时失效，取xi =1；否则，取xi=0。
根据极大似然原理，式(8)中的参数mR和βR可由式(13)的极值，通过标准的优化方法求出[18]：
2 第二代基于性能地震工程中的地震易损性模型
从前面的论述可以看出：地震风险理论中的地震易损性函数FR(x)，其输入变量是地震动强度参数IM，即条件破坏概率是IM的函数。但由于条件破坏概率是具有一般性的，因此可以将作为条件的输入变量变为工程需求参数EDP，或者损伤测度DM，则图1中相应的“能力模型”和“损失模型”可以分别称为“能力易损性模型”和“损失易损性模型”，这两类“易损性模型”已经与传统地震风险理论中的地震易损性模型不同了。但是，通过对图1中危险性模块的后续模块的卷积，又可以得到传统地震风险理论意义下的地震易损性模型，因此，第二代PBEE理论具有不同层次意义的地震易损性模型。
2.1 地震需求易损性模型
图1中的“需求模型”本质上为只考虑结构地震需求不确定性的传统地震风险理论中的地震易损性模型。对于地震需求易损性，极限状态LS可以用结构的地震需求参数EDP(如结构的最大层间位移角θmax，顶点位移延性系数μd，总体损伤指数DIg等)超过某种确定性需求水平edp来度量，其相应的易损性函数为：
式中：FRd(im)为地震需求易损性函数；≜表示“定义为”；LS=EDP＞edp表示采用确定性需求水平edp的极限状态。对于钢筋混凝土框架结构，相应于四级性能水准IO、LS、CP、IC的确定性需求水平edp通常取为：0.2%，1.0%，2.0%，4.0%(相应于θmax)；1.0，1.5，3.0，5.0(相应于μd)；0.1，0.2，0.5，1.0(相应于DIg)。
在随机的地震动作用下，结构的地震需求参数EDP为一条件随机变量，表示为EDP|IM，其概率分布称为“概率地震需求模型(Probabilistic Seismic Demand Model，PSDM)”，一般假设EDP|IM服从对数正态分布：
式中，mEDP|IM 和βEDP|IM分别为条件对数平均值和条件对数标准差(或条件离差)。
根据上述假设，可以进一步将地震需求EDP写成如下形式：
式中，εEDP|IM为反映地震需求分析不确定性的随机误差，服从中位值为1、离差为βEDP|IM的对数正态分布：
参数mEDP|IM 和βEDP|IM需通过概率地震需求分析(Probabilistic Seismic Demand Analysis，PSDA)方法获得，如云图法(Cloud Method)[19-20]、多条带法(Multiple Strip Analysis，MSA)[21]、云图-条带法[22]、增量动力分析(Incremental Dynamic Analysis，IDA)法[23-24]等。通过大量的PSDA分析，Cornell[19]发现当给定地震动强度IM时，条件地震需求中位值mEDP|IM 与地震动强度IM满足幂函数关系：
式中，a和b为回归系数。
将式(17)和式(19)代入地震需求易损性函数式(15)中，可得：
注意到εEDP|IM 为对数正态分布随机变量(参见式(18))，因此式(20)可进一步整理成：
将式(21)中的最后一个式子与式(8)进行对照，并分别将式(21)中最后一个式子的两个参数分别记为：
最终可以得到地震需求易损性函数的概率模型：
mRd和βRd 分别称为地震需求易损性函数的中位值和离差。根据式(19)，可知mRd为当条件地震需求中位值mEDP|IM等于确定性需求水平edp时，相应于需求水平edp的地震动强度IM(如图6所示)，记为(im)edp，因此式(22)值为：
2.2 抗震能力易损性模型
图1中的“能力模型”本质上为将结构的地震需求参数作为输入变量的地震易损性模型，其相应的易损性函数可以定义为：
图6 相应于确定性需求水平edp的地震动强度
Fig.6 Intensity measure corresponding to the deterministic demand value edp
式中：FRc(edp)为抗震能力易损性函数；DM|EDP代表结构的抗震能力；FDM|EDP(dm)为抗震能力的概率分布函数。
式(25)表明：抗震能力易损性函数即为抗震能力的概率分布函数，因此可以将能力模型称为“概率抗震能力模型(Probabilistic Seismic Capacity Model, PSCM)”。
抗震能力DM|EDP一般服从对数正态分布[19]：
式中，mDM|EDP 和βDM|EDP分别为抗震能力DM|EDP的对数平均值和离差。
与地震需求EDP的模型式(16)类似，也可将抗震能力DM|EDP写成如下形式：
式中，εDM|EDP为反映抗震能力不确定性的随机变量，服从中位值为1、离差为βDM|EDP的对数正态分布：
确定式(26)中参数mDM|EDP 和βDM|EDP的过程称为“概率抗震能力分析(Probabilistic Seismic Capacity Analysis，PSCA)”[25-28]，而第二代PBEE理论则将其称为“地震易损性分析”[11-13]，可以通过数值模拟、结构试验以及专家经验等确定。
事实上，概率抗震能力分析分为结构整体层次和结构构件层次。在结构整体层次的概率抗震能力分析，本文第一作者及其团队进行了大量系统深入的研究[25-31]。第二代PBEE理论及FEMA-P58报告则主要针对的是结构构件(包括非结构构件)层次，采用试验数据经统计分析确定参数mDM|EDP 和βDM|EDP[13,32-33]。
基于构件试验数据，中位值mDM|EDP和对数标准差βDM|EDP可采用式(29)和式(30)估计[32-33]：
2.3 地震损伤易损性模型
地震损伤易损性是将图1中的“需求模型”与“能力模型”进行卷积的结果，本质上是同时考虑地震需求不确定性和抗震能力不确定性的传统地震风险理论中的地震易损性模型，其相应的易损性函数定义为：
将式(17)、式(19)和式(27)分别代入式(31)中，可得：
记：
对式(33)两边进行对数变换：
显然有：
因此，随机变量Z服从对数平均值为0，对数标准差为
的对数正态分布。则式(32)可进一步表示为：
将式(37)中的最后一个式子与式(8)进行对照，并分别将式(37)中最后一个式子的两个参数分别记为：
最终可以得到地震损伤易损性的概率模型：
式中，mRd 和βRd分别称为地震损伤易损性函数的中位值和离差。
根据式(22)，可知mRd为当条件地震需求中位值mEDP|IM 等于抗震能力DM|EDP的中位值mDM|EDP 时，相应于中位值mDM|EDP 的地震动强度IM(如图7所示)，记为(im)mDM|EDP ，因此式(38)值为：
由式(24)和式(40)可以看出，地震需求易损性函数和地震损伤易损性函数的分布形式与式(8)的对数正态分布形式相同，只是分布参数有别：对于前者，分布参数为式(22)和式(23)；对于后者，分布参数为式(38)和式(39)。两外，对比这两组参数可以看出，当不考虑抗震能力DM|EDP的不确定性时，式(22)和式(23)与式(38)和式(39)分别相等，因此，地震需求易损性函数为地震损伤易损性函数的特例。
图7 相应于抗震能力DM|EDP的中位值的地震动强度
Fig.7 Intensity measure corresponding to the median value of seismic capacity DM|EDP
2.4 地震损失易损性模型
图1中的“损失模型”本质上为将结构的地震损伤测度作为输入变量的地震易损性模型，其相应的易损性函数可以定义为：
式中：FRloss(dv)为地震损失易损性函数；DV|DM代表结构在地震损伤为DM时的条件损失；FDV|DM(dv)为地震损失的概率分布函数。
式(41)表明：地震损失易损性函数即为地震损失的条件概率分布函数，一般也假设其服从对数正态分布。
2.5 抗震决策易损性模型
本文将图1中的“需求模型”“能力模型”和“损失模型”进行卷积的结果称为“抗震决策易损性”，本质上是同时考虑地震需求不确定性、抗震能力不确定性以及地震损失不确定性的传统地震风险理论中的地震易损性模型，其相应的易损性函数定义为：
仍然假设抗震决策易损性服从对数正态分布，对其分布参数的估计是概率地震损失估计的主要研究内容[34]。
3 正向PBEE和逆向PBEE
根据图1所示，第二代PBEE的概率地震风险可利用全概率定理表示为三重积分形式[11-12]：
式中：im为地震动强度参数；edp为工程需求参数；dm为损伤参数；dv为决策变量，通常为地震损失；λIM(im)=P(IM≥im)为地震动强度参数IM的危险性函数，表示年平均发生事件｛IM≥im｝的概率；λDV(dv)=P(DV≥dv)为决策变量DV的地震风险概率，表示年平均发生事件｛DV≥dv｝的概率；
表示随机变量X在Y=y条件下的余累积分布函数(Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF)；
分别为需求模型、能力模型和损失模型。
采用不同的多重积分顺序，式(43)的求解可以分别采用IM→EDP→DM→DV或DV→DM→EDP→IM两个分析方向进行。从物理意义角度来讲，这体现了不确定性的正向或逆向传播顺序。本文将这两个方向的PBEE分析分别称为“正向PBEE”和“逆向PBEE”。
3.1 正向PBEE
按照IM→EDP→DM→DV的正向顺序，可以“由内向外”分别得到需求层次、损伤层次和损失层次的概率风险函数。
将“需求模型”与地震动强度参数危险性函数进行卷积，可以得到地震需求概率风险函数：
式中，λEDP(edp)=P(EDP≥edp)称为“地震需求危险性函数”，即地震需求层次的概率风险函数。
将“能力模型”与地震需求危险性函数进行卷积，可以得到地震损伤概率风险函数：
式中，λDM(dm)=P(DM≥dm)称为“地震损伤危险性函数”，即地震损伤层次的概率风险函数。此式也是结构抗震可靠度的表达式[35]。
将“损失模型”与地震损伤危险性函数进行卷积，可以得到地震损失概率风险函数：
式中，λDV(dv)=P(DV≥dv)即为第二代基于性能地震工程理论所要得到的最终表达式。
从上述可以看出，正向PBEE是按照“地震动危险性→地震需求危险性→地震损伤危险性→地震损失危险性”的不确定性传播方向评估地震损失的概率风险。
3.2 逆向PBEE
按照DV→DM→E DP→IM的逆向顺序，可以“由外向内”分别得到损失层次、损伤层次和需层次地震易损性模型，最后与地震动危险性分析函数进行卷积，得到相应层次的概率风险函数。
将“需求模型”“能力模型”和“损失模型”进行卷积，可得到DV层次的抗震决策易损性函数：
然后将其与地震动强度参数危险性分析函数进行卷积，可得到DV层次的概率风险函数：
将“需求模型”和“能力模型”进行卷积，可得到DM层次的地震损伤易损性函数：
然后将其与地震动强度参数危险性分析函数进行卷积，可得到DM层次的概率风险函数：
EDP层次的需求易损性函数和概率风险函数与式(15)和式(44)相同。
从上述可以看出，逆向PBEE是按照经典的地震风险理论，采用“概率地震风险=概率地震危险性×概率地震易损性”的方式得到不同层次的地震风险概率。
综上，通过正向PBEE和逆向PBEE，可以将经典的地震风险理论与第二代基于性能地震工程理论有机地统一在一个框架之中。
4 基于正向和逆向PBEE的概率风险分析
4.1 基于正向PBEE的概率风险分析
大量的研究表明，地震动强度参数(如谱加速度Sa)一般服从极值II型分布[19]：
式中：常数k0=uk；u和k分别为尺度参数和形状参数，由场地的概率地震危险性分析(PSHA)得到。
将式(51)、式(19)和式(21)的第一个等式代入到式(44)中，通过积分，可得到EDP层次的概率地震需求危险性函数解析表达式[19]：
同理，将式(26)和式(52)代入式(45)中，通过积分，可得到DM层次的概率地震损伤危险性函数解析表达式[19]：
若假设抗震能力的中位值与工程需求参数也满足幂函数关系：
式中，c和d为回归系数。则可以进一步得到与式(52)类似的解析表达式[36]：
同理，将假设为对数正态分布的式(41)和式(55)代入式(46)中，并假设决策变量与损伤测度同样满足幂函数关系[36]：
式中，e和f为回归系数。通过积分，可得到DV层次的概率地震损失危险性函数解析表达式[36]：
式中，βDV|DM为决策变量的对数标准差，一般通过概率地震损失估计[34]求得。
4.2 基于逆向PBEE的概率风险分析
按照经典的地震风险理论，概率地震风险函数为概率地震危险性函数与概率地震易损性函数的卷积[14-15,17]：
式中，λLS为超越极限状态LS的概率，若假设地震的发生服从平稳泊松分布，则其亦为超过某个极限状态值的平均年频率(Mean Annual Frequency，MAF)。
根据式(58)的定义，EDP、DM、DV三个层次的风险可以分别按式(59)～式(61)计算：
将地震易损性函数式(8)和地震危险性函数式(51)代入式(58)中，通过分部积分，可得到极限状态概率λLS的显式表达式[37]：
式中，
表示在谱加速度能力中位值mR处的地震危险性。
将地震需求易损性函数的两个参数式(22)和式(23)分别代入式(62)中，可以得到与式(52)相同的表达式[31]。同理，将地震损伤易损性函数的两个参数式(38)和式(39)分别代入式(62)中，可以得到与式(53)相同的表达式[31]。类似地，将抗震决策易损性函数的两个分布参数(篇幅关系，本文从略)分别代入式(62)中，也同样可以获得与式(57)相同的表达式。
通过上述正逆两个方向的PBEE分析，可以获得图1中EDP、DM、DV三个层次相同的地震风险表达式，这样就将传统地震风险分析理论和第二代基于性能地震工程理论统一在一个框架之中。
5 结论
第二代基于性能地震工程理论中的地震易损性与传统地震风险分析理论中的地震易损性概念和定义并不相同，本文首先总结了传统地震风险分析理论中地震易损性的定义和概率模型，然后指出了第二代基于性能地震工程理论存在五个层次的地震易损性模型：地震需求易损性模型、抗震能力易损性模型、地震损伤易损性模型、地震损失易损性模型和抗震决策易损性模型，其中通常所说的第二代基于性能地震工程理论中的地震易损性主要是指抗震能力易损性模型，即“能力模型”；而地震需求易损性模型和地震损失易损性模型则分别是第二代基于性能地震工程理论中的“需求模型”和“损失模型”。地震损伤易损性模型是地震需求易损性模型和抗震能力易损性模型的卷积，而抗震决策易损性模型则是地震需求易损性模型、抗震能力易损性模型和地震损失易损性模型的卷积。地震损伤易损性模型和抗震决策易损性模型属于传统地震风险分析理论中的地震易损性模型；而地震需求易损性模型既属于第二代基于性能地震工程理论中的“需求模型”，又属于传统地震风险分析理论中的地震易损性模型。本文推导得到了地震需求易损性模型和地震损伤易损性模型分布参数的解析表达式。在此基础上，根据不同的不确定性传递路径，本文提出了正向PBEE和逆向PBEE的概念，可以通过不同方式求解第二代基于性能地震工程理论的风险积分公式。基于地震危险性函数近似表达式以及地震易损性模型及其分布参数的解析表达式，通过正向PBEE和逆向PBEE方法，分别得到了具有相同表达形式的工程需求参数EDP、地震损伤DM和决策变量DV三个层次的概率地震风险表达式。通过上述研究，澄清了传统地震风险分析理论与第二代基于性能地震工程理论关于地震易损性的区别，并将二者有机地统一在一个理论框架之中。
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