石 础1，罗 宇1，胡志强2
(1．上海交通大学海洋工程国家重点实验室，上海 200240；2．纽卡斯尔大学船舶科学与技术学院，英国 NE1 7RU)
摘 要：该文以发表的海冰蠕变实验为基础，建立考虑损伤失效的非线性 Burgers’海冰模型。此模型在 Jordaan模型基础上考虑韧脆转变应变率影响，使原有模型应用范围扩展至较高应变率。在模型中引入经验损伤失效准则，以准确反映不同应变率、围压等工况下海冰损伤失效过程。应用FORTRAN语言，通过隐式积分中心法对此模型进行数值求解，并将其嵌入到有限元软件LS-DYNA中。对实验室尺度的柱状冰蠕变实验、真实尺度冰块-刚性板碰撞场景进行数值模拟，分析蠕变实验的轴向应变-时间曲线，讨论冰块碰撞得到的压力-面积曲线及碰撞力时历曲线。这些数值模拟结果与实验及真实碰撞结果吻合较好，验证此模型的正确性及其对工程实际进行模拟的可行性。
关键词：海冰模型；非线性粘弹性；损伤失效；数值模拟；蠕变实验；船冰碰撞
由于北极油气资源开发、北极航线可航行日期延长及北极游览观光增加，人类在北极活动日益频繁，这大大增加了船舶、海洋结构物与海冰碰撞的可能性。一旦发生碰撞，船舶结构会出现结构损坏，威胁航行安全，严重的甚至导致油气泄露，严重影响极地生态环境和船舶安全。为保障极区船舶与海洋结构物安全，需要在设计阶段考虑冰载荷影响。因此，准确模拟船/海洋结构物-海冰碰撞过程，预测碰撞中结构损坏、碰撞力大小等碰撞结果，对船舶/海洋结构物设计十分重要。
为准确模拟船-海冰碰撞过程，需要建立合理的海冰模型，而冰的力学性质十分复杂，受多种因素影响。影响冰力学性质的因素可以分为内在因素和外在因素两种，内因包括冰晶结构、冰晶粒大小、孔隙、卤水体积、温度、盐度及密度等。Timco等[1]拟合比较了2500个发表的海冰弯曲实验结果，发现海冰弯曲强度与卤水体积成指数关系。李志军等[2]利用渤海冰孔隙率垂直坡面研究了渤海平整冰层压缩、弯曲及剪切强度。外因包括冰所受加载速率、加载方向与冰晶生长方向关系、冰层厚度、冰受围压大小等。
目前，建立一个能体现所有影响因素的海冰模型是不现实的，众多学者根据冰表现出的特性，提出多种冰模型，并将其应用在船冰碰撞的有限元模拟中。Gagnon[3]提出一种泡沫模型模拟冰破碎挤出的过程，冰呈现三段线性应力-应变关系，通过人为设定删除时间以模拟碰撞中冰载荷上下波动现象。Liu等[4]提出一种理想弹塑性冰模型，根据数值计算经验，提出基于静水压力和塑性应变累计量的失效准则。季顺迎等[5]建立海冰离散元模型模拟海冰与直立结构碰撞中出现的破碎等现象。武文华等[6]利用LS-DYNA模拟了海冰-椎体抗冰装置碰撞过程，研究了海冰弯曲断裂形式。
本文在Jordaan模型[7―8]基础上，提出考虑损伤失效和韧脆转变应变率影响的非线性粘弹性Burgers’海冰模型，通过 FORTRAN编程将其数值求解，并嵌入到LS-DYNA 中，通过模拟圆柱形冰模型蠕变实验和冰山-刚性板碰撞实验，验证海冰材料模型的可行性。
在广泛的工程应用工况中，海冰处于很高的同系温度，因此趋向于表现出脆性-粘弹性材料性质[9]。Sinha[10]根据柱状冰单轴压缩实验提出一种冰的粘弹性本构关系，如式(1)所示：
式中：总应变由四部分组成即瞬时弹性应变εe，延迟弹性应变εd，永久粘性应变或称为第二蠕变应变εc和裂纹引起的应变εcr，其中裂纹引起的应变可以通过损伤函数形式嵌入到其他三个应变表达式中。Burgers’模型被广泛用于描述粘弹性材料[11]。Jordaan等[7―8]应用Burgers’模型(如图1所示)描述了上述粘弹性海冰本构关系，其中粘性元件参数η2，η1为非线性的应力的函数，以Maxwell粘性元件为例，如式(2)所示，Kelvin粘性元件有类似表达式。
图 1 由 Maxwell单元(E2，η2)和 Kelvin 单元(E1，η1)组成的Burgers’模型
Fig.1 Burgers’ model consisting of a Maxwell unit (E2,η2) and Kelvin unit (E1,η1)
式中：m为常数；σ0为参考应力；
为参考粘性应变率，均为常数；
即为 Maxwell单元粘性元件的非线性参数。
Jordaan模型能很好地拟合低应变率和中应变率时海冰蠕变实验中的时间-应变曲线和应力-应变曲线，但是在超过脆性-韧性转变应变率(2×10−3s−1)左右)后，此模型预测的应力继续增加，如图2中虚线所示，此虚线表示Maxwell单元中粘性元件应变率-应力关系，Kelvin单元的粘性元件有相似关系。而根据海冰压缩实验及结构物-海冰碰撞实测数据，冰强度在转变应率变后保持不变或轻微下降，显然此模型不能预测应变率大于转变应变率的工况。
本文提出一种考虑转变应变率影响的非线性粘弹性海冰模型，当应变率小于转变应变率时，本文模型与Jordaan[8]相同，当应变率大于或等于转变应变率时，根据Gagnon和Gammon[12]做的海冰三轴压缩实验得到的应变率-海冰强度关系，将Jordaan模型中Maxwell单元和Kelvin单元的非线性粘性元进行改进，使其在对数坐标系中，应变率-应力关系成指数形式，如图 2中实线所示(此图仅显示 Maxwell单元粘性元件应变率-应力关系曲线，Kelvin单元粘性元件与其有相同趋势)，其表达式如式(3)所示，指数曲线转折点出现在转变应变率附近。因此，当应变率大于转变应变率时，模型的应力基本保持不变，且小于转变应变率时曲线与原模型直线吻合较好。
式中，y0、a0、r0均为拟合得到的参数。
为统一表达形式，将式(2)与式(3)合并为一个表达式，这样不仅能方便下文中有限元实现，也能更清晰的认识表达式中参数的含义。将式(2)与式(3)两边分别相除得到式(4)，Kelvin单元中粘性元件表达式可以通过类似推导得到相似表达。
式中f在式(5)中给出：
式中，
为转变应变率。
图2 Jordaan模型与本文模型的Maxwell单元中非线性粘性元件对比，横纵坐标均为对数坐标
Fig.2 Comparison of the nonlinear dashpot in Maxwell between the material model proposed by Jordaan and the material model in this paper
以上描述的海冰非线性粘弹性模型的建立是以恒应力蠕变实验为基础得到的，只适用于恒定载荷情况。在实际应用中，加载到海冰上载荷一般是随时间变化的，如船冰碰撞过程中，碰撞力的大小会快速变化。为应对变载荷加载情况，本文应用应变硬化理论[13]考虑先前蠕变对后续蠕变的影响。
首先假设变化的载荷能被化分成如图3所示的分段形式，即每一固定大小的载荷作用一段非常短的时间；然后分别求出每一段载荷作用时海冰蠕变应变-时间曲线，如图3中虚线所示。当应力突然变化时(如σ3变为σ4)，假设海冰蠕变应变不变，并将其赋予到下一应力蠕变曲线(A点做水平线相交得到A′点)，计算对应此蠕变应变的相当时间t，以此为起点，计算蠕变应变增加量，再将此增量平移至原蠕变曲线(A′B′平移至 AB)，以此类推，得到变应力下蠕变曲线。
图3 应变硬化理论示意图
Fig.3 Illustration of strain-rigidification theory
在计算中实现应变硬化理论的关键在于根据蠕变方程和已知蠕变应变求得相当时间t。由图 1所示的Burgers’模型的蠕变应变方程可以写为式(6)形式：
本文采用牛顿迭代算法数值求解此方程，初始迭代值t0=0，此时具有全局收敛。
现将上述一维模型推广到三维情况。对于弹性部分，应用三维胡克定律。对于蠕变部分，假定蠕变应变率与塑性应变类似，其各个分量与偏应力各分量平行且与偏应力各分量成比例[13]，如式(7)所示：
式中：uij为偏应力各分量；
为等效蠕变应变率；σ¯为等效应力，其表达式分别如下所示：
自然生长的海冰包含很多缺陷，如气孔、卤水、微裂纹等。这些损伤会影响海冰力学性质，同时，这些缺陷在海冰受力过程中的生成与发展过程受多种因素影响，如围压、加载应变率等。
Schapery[9]建立了一种考虑分布微裂纹的连续非线性粘弹性材料模型。Harper[14]将此材料模型应用到冰材料，发现它能很好地描述恒定应力下海冰的蠕变行为。根据 Schapery建立的模型形式，Singh[15]建立了一个含单一标量的损伤模型，能够描述加载应力大小对微裂纹的影响。然而，在结构物-海冰碰撞中，仅仅考虑微裂纹对损伤的影响还不够，还需考虑海冰其他结构变化(如重结晶和压融作用)对碰撞过程的影响。而这些结构变化受到围压、应变率和加载应力大小影响，因此需要把这些因素影响也考虑进去。Jordaan等[8]改进了Singh损伤模型，考虑了围压对损伤的影响，如式(10)所示，本文海冰模型中使用此损伤模型：
式中：p=(σ1+σ1+σ1)/3为静水压力；S1是描述低限制压下发生的损伤的状态变量；S2状态变量描述高围压下发生的损伤；f1、f2(如式(11)、式(12)所示)函数分别限制S1、S2作用的围压范围，当围压小于50 MPa时，f1较大，主要体现S1的作用，当压力大于50 MPa时，f2为大，主要体现S2的作用。
式中：q1、q2、q3为常数。本章采用Kachanov[16]模型体现损伤对材料行为的影响，如下式所示：
式中，E2n、Gn为考虑损伤的弹性模量和剪切模量。
本文假设海冰最后的失效是由损伤累计到一定水平后出现大裂纹引起的。海冰开始受力时微裂纹、融压作用、重结晶等损伤开始出现，并随着受力的持续，损伤连续积累，在这一过程中，不同受力情况(如围压的大小)会影响损伤积累速度。当损伤积累量 S(式(10))达到一定阈值Sf后(S＞Sf)，认为海冰单元失去承载能力并被删除，Sf的确定由试错数值实验确定。当海冰单元被删除时，其刚度已经被损伤函数大大软化，变得非常小，故其刚度已经被损伤函数大大软化，承载能力很低，所以本文认为此时删除海冰单元不会对计算得到的接触力产生较大影响。本文损伤模型没有考虑应变率影响。值得一提的是，正如上文对损伤函数S的描述，这里通过考虑海冰整体的损伤累计量，来代替分别对各个微观裂纹、重结晶等过程的分析，以整体损伤量描述损伤对海冰整体应力-应变关系的 影响。
本文采用隐式积分中心法应用 Fortran语言对建立的三维海冰模型进行数值实现，使用 Fortran语言是为方便嵌入LS-DYNA软件中。其实现流程如图4所示。
第一步，从主程序传入t+∆t时刻的总体应变增量∆εij，其中包含弹性应变和蠕变应变，t时刻的应力
、蠕变应变
及损伤量s( t)。第二步，利用式(5)分别计算应变率对 Maxwell单元和 Kelvin单元的影响，即确定式(5)中 f(ε˙v)DDdi，求得相当时间t。第三步，用相当时间t取代主程序传入的时间 t，以处理变应力问题。第四步，根据式(7)假设：蠕变应变分量与偏应力分量平行并且与偏应力分量成比例，可列出积分式(15)：
对各向同性冰山冰材料，三维胡克定律可写为如下增量形式：
式中：eε为弹性应变；D刚度矩阵。
为更新应力，需求解式(15)、式(16)组成的非线性方程组。采用隐式积分中心算法[16]对式(15)进行数值迭代求解。其求解形式如式(17)所示，式(16)的分量形式如式(18)所示，式(17)与式(18)组成方程组求解的迭代形式。
式中，θ取值范围为0≤θ ≤1，当θ = 0时为显式，θ = 1为隐式，θ ≥1/2时算法是稳定，本章选取θ =1/2，故称为隐式积分中心法。将式(17)代入式(18)得到图4中应力更新表达式，式中：
图4 海冰模型的隐式积分中心法数值实现流程，其中符号含义及详细推导过程见2.1
Fig.4 Flowchart of implementation program. The notation meanings and derivation are shown in Chapter 2.1
第五步，将第k+1步迭代得到的应力
代回到式(10)中更新损伤函数。
第六步，将第四步中 k+1迭代步得到的应力
代入式(17)，得到k+1迭代步的蠕变应变增量
，将其与第 k步蠕变应变增量相比较，若小于一个小值，如图4中公式所示，则认为迭代收敛，计算结束，向主程序返回这个积分点更新后的应力、蠕变应变及损伤函数值，反之，则继续回到第四步进行迭代计算。
2.1节非线性海冰模型的数值求解过程被嵌入到LS-DYNA用户自定材料中，以便在下文有限元计算中应用。
为验证对海冰模型数值实现过程的正确性，在LS-DYNA中进行一个单元加载数值实验，将数值计算结果与理论结果进行对比。采用八节点一积分点实体单元(LS-DYNA中单元编号为1)，将单元底部四个节点完全固定，在顶部四个节点施加单一方向载荷，在周围四个面施加适当载荷使单元处于一维受力情况。顶部加载力及数值结果对比如图5所示。由图可知数值计算值与理论值吻合很好，证明了数值实现的正确性。
图5 单单元数值验证：加载条件及与理论结果对比
Fig.5 One-dimensional loading condition and the comparison between the one-element simulation results and theoretical results
为验证冰山材料模型可行性，本节对冰材料研究中经常使用的蠕变实验进行数值模拟。Jordaan等[8]进行一系列恒应力三轴受力圆柱形海冰蠕变实验，圆柱冰高 175 mm，底面直径 70 mm。其受力情况如图 6所示。实验温度为-10℃，围压等于10 MPa，轴向压力为5 MPa、8 MPa和10 MPa。单元大小范围为2 mm～3.4 mm。
模型中各参数数值如表1所示。这些参数的值是通过对轴向压力为 7 MPa的蠕变实验应变-时间曲线拟合得到的。
图6 柱状冰试样蠕变实验受力情况
Fig.6 Stress station of the cylinder ice specimen
表1 非线性粘弹性海冰模型所用材料属性
Table 1 Material parameters used in the viscoelastic ice model
数值模拟得到的时间-轴向应变曲线与实验结果的对比如图7所示。总体而言，模拟结果与实验结果吻合较好。从图中可知，在加载开始瞬间，轴向应变瞬时上升，这反映了海冰式样的弹性行为，数值模型中Maxwell单元的弹性元件负责拟合弹性行为，从结果可以看出弹簧单元很好的拟合了弹性行为。随后，海冰式样开始体现粘性特征，应变持续上升，但应变率缓慢下降。对于轴向加载5 MPa和7 MPa的数值模拟，可以从图中看到模拟曲线应变率缓慢降低，与实验结果吻合很好。对于轴向加载10 MPa情况，模拟得到的轴向应变率降低并不明显，这是因为当轴向压力过大时，负责体现延迟弹性应变的 Kelvin单元中弹性元件行为比粘性元件行为更容易被体现，故应变更多的体现出弹性变化，粘性变化较小。
图7 蠕变实验模拟得到的时间-应变曲线与实验结果对比
Fig.7 Comparisons of the simulation results and creep tests under different axial stresses
真实尺度的冰山碰撞实验能非常准确的揭示船-冰碰撞力的规律。本节对冰山-刚性板碰撞实验进行模拟。由于球形能代表冰山的平均形状[18]，因此本节采用球形冰与刚板碰撞，球直径为 2 m，为节约计算成本，将不发生碰撞的上半球冰设为刚体，并完全固定，刚性板以恒定速率撞击球形冰，碰撞场景如图 8所示。在正常航速 12节(6.2 m/s)情况下，冰山应变率为 10−2s−1～10−3s−1量级，处在海冰韧脆转变应变率范畴，在较高航速时，处于脆性范畴，根据船-冰碰撞实际工况及实验，碰撞速度设定为0.1 m/s、1 m/s和10 m/s。
图8 球形冰山与刚性板碰撞模拟示意图，球形上半球完全固定，刚性板与冰山以恒定速度正碰
Fig.8 Illustration of a collision between a spherical iceberg and rigid steel plate, the upper of the shpere is fixed and the rigid plate impacts the sphere at constant speed
根据数值试错实验，在这三种碰撞速度中均将损伤失效值Sf设定为1.18×10−4。其余参数与表1相同。
压力-面积曲线被广泛的用在极地航行船舶和海洋结构物设计规范中预测冰载荷大小。图 9对比了模拟得到的压力-面积曲线与设计规范、实验数据。从数值结果可以看出，碰撞压力在接触开始后随着接触面积增加而迅速降低，随后缓慢稳定在一个常数上下波动。这一变化趋势与设计规范和实验数据吻合较好。从图中可以看出，数值模拟结果及实际实验的碰撞应力均比ISO规范小，这是因为ISO规范整合了其他船级社针对不同海域的冰载荷设计规范，提出一个最偏安全的设计建议，以便能应用于大多数海域的海冰碰撞场景。数值模拟曲线与Timco等[19]推荐的设计规范及 Ralph等[20]所做的小冰山碰撞实验吻合较好。Ralph等[20]通过拖拽方式使小冰山与安装在礁石上的刚性板碰撞，并由刚性板上传感器记录碰撞力大小及分布，碰撞速度0.36 m/s～1.89m/s，冰山为自然形成。
图9 不同碰撞速度下数值模拟压力-面积曲线与设计规范、实验数据的对比
Fig.9 Comparison of the contact area–contact pressure curves between the simulated cases at different impact speeds and design codes
由图 10可知，数值计算曲线很好地模拟出海洋结构-海冰碰撞中出现的碰撞力上下波动的现象(被称作“sawtooth”现象)，同时碰撞速度对海冰失效方式和冰块整体受力响应的影响也很好地在数值结果中得到体现。在低速碰撞曲线中，反复波动的碰撞力增加阶段均表现为缓慢增加，同时下降阶段也表现为缓慢降低，由此可知，在整个低速碰撞中冰山均表现为韧性行为。对于中等加载速度，在碰撞开始阶段球形冰块作为一个整体体现韧性变形，当碰撞接触面上第一层冰单元被删除后，较高的应变率和较短的接触时间使后续单元在接触刚性板后表现为弹性行为。因为每层单元很有规律的被逐一删除，碰撞力曲线的上下波动频率接近于85 Hz，尤其是在撞深为 0.1 m～0.16 m 时，这种规律的波动现象更为明显，这种现象被广泛的发现于实际海洋结构物-海冰碰撞过程中。数值模拟结果极有力的说明本章建立的模型可以应用在海冰-海洋结构物碰撞模拟研究中。在高速碰撞中，冰块整体体现弹性行为，Burgers’模型中 Maxwell单元的弹簧元件占主导地位，碰撞力线性的快速增加并降低，如此反复波动。
图10 不同碰撞速度下数值模拟撞深-碰撞力曲线
Fig.10 Simulated relations between penetration and contact force at different impact speeds
本文在Jordaan模型[7－8]基础上，建立了考虑韧脆转变应变率影响的非线性粘弹性海冰模型，当应变率大于韧脆转变应变率时，海冰模型应力保持稳定，与实验相符，将原海冰模型应用范围拓展到大于等于韧脆转变应变率范畴。同时建立了基于损伤函数的损伤失效准则，当单元达到失效准则后，认为其发生大裂纹破坏，无法继续承载外力，删除冰单元以模拟其失效过程。海冰模型通过隐式积分中心算法采用 Fortran语言进行数值求解，嵌入LS-DYNA软件中。由于海冰的复杂性，完全描述其各种力学性质是不现实的，本文模型侧重体现应变率及大裂纹损伤对海冰模型的影响。为验证模型可行性，对圆柱形冰模型的蠕变实验和冰山-刚性板碰撞实验进行数值模拟，蠕变实验中时间-轴向位移曲线、碰撞实验中压力-面积曲线与实验、规范吻合很好，撞深-碰撞力曲线很好地反映了速度对碰撞力的影响，模拟得到碰撞力固定频率波动现象，这些数值结果有力证明海冰模型的可行性。
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NON-LINEAR BURGERS’ SEA-ICE MODEL CONGSIDERING DAMAGE EFFECTS AND ITS NUMERICAL APPLICATION
SHI Chu1, LUO Yu1, HU Zhi-qiang2
(1. State Key Laboratory of Ocean Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2. School of Marine Science & Technology, Newcastle University, UK, NE1 7RU)
Abstract:Based on the published creep experiments of sea ice, a non-linear Burgers’ sea-ice model, considering damage effects, is proposed. This model improves the sea-ice model presented by Jordaan through considering transition strain rate effects, which make it applicable in high strain rate conditions. The influence of strain rate and confining pressure on the damage process of sea ice is reflected by the experimental failure criteria proposed in this model. The iceberg model is implemented using an implicit integration mid-point (Crank-Nicolson) method and is incorporated into the code LS-DYNA by a user-defined material subroutine. Laboratory-scale experiments(creep experiments) and reality-scale experiment (iceberg–rigid steel plate collisions) are simulated. The curves of strain relations in time series, and area-pressure curves and contact force-penetration relations in time series in iceberg-rigid plate collisions are studied. The simulation results show that the proposed iceberg material model yields reasonably good results.
Key words:sea ice model; non-linear Burgers’ model; damage failure criteria; numerical simulation; creep experiment; ship-ice collision
中图分类号：P731.15
文献标志码：A
doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2017.03.0217
文章编号：1000-4750(2018)07-0249-08
收稿日期：2017-03-18；修改日期：2017-09-06
通讯作者：罗 宇(1961―)，男，重庆人，教授，博士，主要从事船舶结构数值模拟研究(E-mail: luoyu@sjtu.edu.cn).
作者简介：
石 础(1989―)，男，河北人，博士，主要从事海洋结构-冰碰撞机理研究(E-mail: shichu2006@126.com)；
胡志强(1975―)，男，江苏人，高级讲师，博士，主要从事船舶碰撞与搁浅研究(E-mail: zhiqiang.hu@ncl.ac.uk).