近年来，地震导致的建筑倒塌和人员伤亡得到了有效控制，但造成的经济损失却愈加严重^[1]。例如，2010年2月27日发生在智利的8.8级大地震中，建造年代在1985年−2009年的所有9974栋建筑中，仅有4栋建筑倒塌^[2]，但大量建筑破坏严重，需要拆除重建，建筑内部的非结构构件及仪器设备也损毁严重，造成了巨大的经济损失。为找到建造成本与将来可能的地震损失间的最佳平衡，迫切需要一种量化评估结构性能及地震损失的方法。

2002年开始，美国联邦紧急事务管理署(Federal Emergency Manage Agency, FEMA)发起了ATC-58计划，旨在发展新一代建筑抗震性能设计和评估方法。2012年，美国联邦紧急事务管理署和美国技术应用委员会提出了FEMA P-58建筑性能评估方法^[3]，并开发了配套评估工具PACT^[4](Performance Assessment Calculation Tool)。FEMA P-58建筑性能评估方法引入了概率分析方法，增强了评估结果的可信度，建立了包括人员伤亡、修复费用和修复时间等性能指标的评价方法，比第一代方法所采用的专业性结果更便于决策方理解。2013年，奥雅纳工程咨询有限公司依托PACT工具发布了REDi Rating System^[5]，2015年，美国韧性委员会建立了建筑性能评价系统USRC Rating System ^[6]。

抗震韧性概念一经提出，得到了国内外学者的广泛研究^[7-9]。翟长海等^[10]系统总结了城市抗震韧性评估的国内外研究现状，并提出了建设抗震韧性城市所涉及到的科学技术问题及韧性能力提升策略。HUTT等^[11]对旧金山某典型既有高层钢框架结构进行了地震经济损失与停工期评估，并给出了提高韧性的措施。TIAN等^[12]采用FEMA P-58方法对按中、美两国抗震设计规范设计的2座高层建筑的抗震能力进行了定量比较。曾翔等^[13]基于多自由度集中质量剪切层模型和弹塑性时程分析对3栋典型建筑进行了基于强度的地震损失评估，结果表明，建筑损失主要来自结构构件和墙体等位移敏感型非结构构件。WELSH-HUGGINS等^[14]采用非线性动力分析，对30栋具有不同水平刚度和延性能力的现代钢筋混凝土建筑的抗震性能进行了概率评估，并对震后损失进行量化，包括经济损失和环境损失(以等效CO₂排放计算)，结果表明，对于地震强度高的地区，提高水平刚度可以显著减少全生命周期内经济损失和碳排放量。孙楚津等^[15]分别利用FEMA P-58方法和中国规范方法，对校园建筑进行了地震经济损失评价。卢嘉茗和解琳琳等^[16]以典型区域建筑RC框架结构为例，综合考虑区域计算效率和精度，建议了一种适用于该类结构隔震韧性提升的基于铁木辛柯梁的组合简化模型。杜轲等^[17]采用FEMA P-58理论进行RC框架结构抗震及减隔震性能评估，结果表明：采用隔震框架结构与BRB-框架结构可以有效降低建筑物在地震作用下的维修成本与维修时间。卢啸^[18]构建了一种基于构件损伤状态的结构使用功能量化方法，提出了结构地震韧性的评价流程，并应用于典型钢筋混凝土框架核心筒高层建筑结构的地震韧性评价。解琳琳等^[19]以一8度区的RC框架-剪力墙工程为例，针对隔震结构提出了3种上部结构设计理念，并设计了3个隔震案例，进行了设防和罕遇地震下的韧性评价。

2021年，由清华大学牵头相关单位编制的《建筑抗震韧性评价标准》^[20](以下简称《韧性评价标准》)正式实施。潘鹏团队基于该标准，设计并开发了适用于我国的建筑抗震韧性评价系统^[21](以下简称“韧性评价系统”)，大大促进了我国建筑抗震韧性评价方法的发展。

已有的相关研究多根据层间位移角来判断结构构件损伤状态，对于规则结构取得了很好的效果，且简便易行，极大地促进了抗震韧性评价方法在实际工程中的应用。然而，对于存在楼层变形不均匀、扭转不规则等情况的结构，同一楼层不同位置的构件变形是不同的，通过一个统一的层间位移角难以准确反映同楼层所有构件的变形。另外，对于没有层概念的空间结构，无法定义层间位移角，因而无法对该类结构进行抗震韧性评价。为此，本文采用基于材料应力-应变或构件转角的构件性能评价方法来判断构件损伤状态，使抗震韧性评价方法可以更灵活地适用于复杂建筑，同时，推导韧性评价指标的置信上限，以增强韧性评价结果的可靠性。

1   韧性评价方法

1.1   韧性评价流程

全概率韧性评估框架^[22]将地震性能概率分析分为4个部分：① 地震危险性分析，根据某一区域内一定时间内某强度地震发生的概率，确定地震强度参数IM(Intensity measure)和年平均超越概率$\lambda \left( { {\rm{IM}}} \right)$的关系，即地震危险性曲线；② 结构响应分析，根据地震危险性曲线，选取具有代表性的地震动，进行结构动力分析，获取工程需求参数EDP(Engineering demand parameter)，如最大层间位移角、楼面加速度等参数；③ 损伤分析，根据地震需求参数EDP，结合构件易损性数据库，确定损伤指标DM(Damage measure)；④ 损失分析，根据损伤指标DM计算出决策者更容易理解的决策变量DV(Decision variable)，如修复成本、修复时间等。可表示为三重积分的形式：

式中：$\lambda \left( {{\rm{DV}}} \right)$为决策变量DV超越某个特定值的概率；$G\left\langle {{\rm{DV}}\left| {{\rm{DM}}} \right.} \right\rangle$、$G\left\langle {{\rm{DM}}\left| {{\rm{EDP}}} \right.} \right\rangle$、$G\left\langle {{\rm{EDP}}\left| {{\rm{IM}}} \right.} \right\rangle$为条件概率函数，如$G\left\langle {{\rm{DV}}\left| {{\rm{DM}}} \right.} \right\rangle$指在特定损伤状态DM时决策变量超越某个特定值的概率。

非线性动力时程分析往往需要耗费大量的时间，一般只做少量地震动的时程分析。然而，如果样本数目太少，拟合修复费用、修复时间及人员伤亡率指标对数正态分布曲线可能会失败，这就需要对原始样本进行扩充，得到大量的模拟样本。传统韧性评价流程如图1(a)所示。

图  1  韧性评价流程

Figure  1.  Process of seismic resilience assessment

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为了更准确地得到构件损伤状态，本文提取非线性时程分析结果，采用基于材料应力-应变或构件转角的评价标准，直接判断构件损伤状态，则式(1)可简化为二重积分的形式：

式中，$G\left\langle {{\rm{DM}}\left| {{\rm{IM}}} \right.} \right\rangle$为条件概率函数，指在特定地震强度${\rm{IM}}$下构件超越损伤状态${\rm{DM}}$的概率。

本文韧性评价流程如图1(b)所示，详细步骤如下：

1) 地震危险性分析，确定地震动强度，选取合适的地震动记录。

2) 采用纤维梁和分层壳模型或塑性铰模型，进行非线性动力时程分析获取结构响应。

3) 根据非线性时程分析结果，采用基于材料应力应变或损伤的构件性能评价标准^{[20, 23-24]}或基于构件转角或位移角的构件性能评价标准^{[20, 23, 25]}来判定构件损伤状态。

4) 提取构件损伤状态作为原始样本，并对构件损伤状态矩阵进行扩充。

5) 根据扩充后的构件损伤状态矩阵，按照《韧性评价标准》计算修复费用、修复时间及人员伤亡指标。

6) 计算修复费用、修复时间及人员伤亡指标给定置信水平的置信区间，估计置信上限。

7) 根据修复费用、修复时间及人员伤亡指标的置信上限进行韧性评级。

对构件损伤状态矩阵进行扩充时，假定原始矩阵满足联合对数正态分布，扩充后的矩阵与原始矩阵具有相同的均值与协方差。由于本文方法构件数目远大于时程分析的地震动数目，且多数构件处于无损伤状态，构件损伤状态向量线性相关，协方差矩阵非满秩，YANG等^[26]提出的方法中Cholesky分解算法将变得不稳定。因此，本文采用FEMA P-58^[3]改进后的方法进行样本矩阵扩充。

对于非结构构件信息未知的新建建筑，可采用“韧性评价系统”中规范化数量估计工具来估计非结构构件信息；非结构构件位置难以确定时，可采用层间位移角和楼层加速度作为工程需求参数来判断非结构构件的损伤状态。

1.2   置信区间估计

为评估韧性评价结果的可靠性，即精确程度，就需要对韧性评价指标的置信区间进行估计。

扩充后的样本矩阵(简称模拟大样本)与原始样本矩阵(简称原始小样本)具有相同的均值和协方差，因而模拟大样本并没有提供更多的独立信息，蒙特卡洛方法得到的修复费用、修复时间及人员伤亡率指标的统计特征，必然也与原始小样本直接计算得到修复费用、修复时间及人员伤亡率指标的统计特征接近。表1是某框剪结构的修复费用指标模拟大样本与原始小样本统计特征对比情况。

表  1  统计特征对比

Table  1.  Comparison of statistical characteristics /(%)

时程分析	样本	对数均值	对数标准差	84分位值
4组人工模拟+7组 实际强震记录	原始小样本	3.3608	0.4592	45.5
	模拟大样本	3.3114	0.4184	41.6
11组人工模拟地震动	原始小样本	3.0711	0.193	26.1
	模拟大样本	3.0193	0.1451	23.7

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可见，模拟大样本与原始小样本的对数均值及对数标准差接近， 84%保证率的修复费用指标也接近。因此，相比原始小样本，采用模拟大样本对修复费用总体分布参数估计的精度并没有提升。

由于人工模拟地震动加速度时程曲线的反应谱跟规范反应谱接近，离散性比实际强震记录更小，因而11组人工模拟地震动时程分析得到的修复费用对数标准差更小，84%保证率的修复费用指标也更小，结果偏于不安全，因而要保证原始时程分析地震动中包含足够多的实际强震记录。

给定置信水平$1 - \alpha$，对修复费用、修复时间及人员伤亡率指标的对数均值和对数标准差的置信区间进行估计。为表述简单起见，对修复费用、修复时间及人员伤亡率样本取对数，假设取对数后的样本符合正态分布$N( {\mu ,{\sigma ^2}} )$，$\bar X$、$S$分别为对数样本的均值和标准差。总体分布的对数均值$\mu$和对数标准差$\sigma$的最大似然估计量为$\bar X$和$S$。

1) 对数均值$\mu$的置信区间

由：

有：

即：

于是，得到$\mu$的置信水平为$1 - \alpha$的单侧置信上限为：

2) 对数标准差$\sigma$的置信区间

由：

有：

即：

于是，得到${\sigma ^2}$的置信水平为$1 - \alpha$的单侧置信上限为：

总体分布的对数均值$\mu$近似取$\bar X$，对数标准差$\sigma$近似取$S$，84%保证率的分位值可近似取：

置信水平为$1 - \alpha$的单侧置信上限可近似取：

将式(6)和式(10)代入式(12)，得：

化简得：

式中：

以11组地震动为例，$n$为11，$\alpha$取0.05，查查t分布表和χ²分布表得：${t_\alpha }\left( {n - 1} \right) = {t_{0.05}}\left( {10} \right) = 1.8125$，$\chi _{1 - \alpha }^2\left( {n - 1} \right) = \chi _{0.95}^2\left( {10} \right) = 3.940$，代入式(15)得$C$为$3.1256$。计算11组、20组、30组、40组、50组和100组地震动的$C$值及对数标准差取0.1~0.6时的${C^S}$值见表2。

可见，随着地震动数目的增加，$C$值逐渐减小。在对数标准差较小的情况下，如0.2以下，40组以上地震动的韧性评价指标最大似然结果与置信水平为0.95的置信区间上限结果接近，相差10%以内。

表  2  不同地震动数目的$C$值和${C^S}$值

Table  2.  The $C$ and ${C^S}$of different number of ground motions

参数		地震动数目
		11	20	30	40	50	100
$C$		3.13	2.13	1.80	1.65	1.55	1.35
${C^S}$	$S = 0.1$	1.12	1.08	1.06	1.05	1.04	1.03
	$S = 0.2$	1.26	1.16	1.13	1.10	1.09	1.06
	$S = 0.3$	1.41	1.25	1.19	1.16	1.14	1.09
	$S = 0.4$	1.58	1.35	1.27	1.22	1.19	1.13
	$S = 0.5$	1.77	1.46	1.34	1.28	1.25	1.16
	$S = 0.6$	1.98	1.57	1.42	1.35	1.30	1.20

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2   工程实例

某办公楼结构模型如图2所示，框架剪力墙结构，共13层，结构在第5层收进，第6层进一步收进，第6层~第13层中间楼板开洞，结构包含4个混凝土核心筒。模型共有梁、柱、板、墙等各类构件11 939个，单元尺寸取0.8 m，共69万自由度。抗震设防烈度为6度，场地类别为Ⅳ类，场地分组为第二组。

图  2  某办公楼模型

Figure  2.  An office building model

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第一振型为Y向平动振型，周期为1.32 s；第二振型为X向平动振型，周期为1.19 s；第三振型为扭转振型，周期为1.02 s。按照地震动主方向反应谱在前3周期点与规范反应谱接近的原则，选取了1组人工模拟加速度时程曲线和19组实际强震记录，绘制主方向和次方向反应谱如图3所示，可见，20组地震动时程曲线的平均地震影响系数曲线与规范反应谱地震影响系数曲线在前三周期点处统计意义上吻合。

2.1   结构非线性分析

采用基于材料非线性本构模型的纤维梁单元和分层壳单元相结合的精细有限元模型，进行罕遇地震非线性动力时程分析，主方向峰值加速度为125 cm/s²，次方向峰值加速度为106 cm/s²，设X方向为主方向。

提取层间位移角如图4所示，可见，罕遇地震下层间位移角较大值出现在第5层顶部，这是因为该层大面积收进，刚度出现突变。查看罕遇地震下结构残余层间位移角小于1/200，建筑可修，可以进行韧性评价。

图  3  地震动反应谱

Figure  3.  Response spectrum of ground motion

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图  4  层间位移角

Figure  4.  Story drift ratio

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采用基于材料应力-应变的构件性能评价标准^[24]进行构件性能评价。以人工模拟地震动工况为例，分析结构破坏情况。梁柱构件损伤较轻，损伤状态如图5所示。剪力墙连梁较多处于重度损坏到严重损坏状态，对墙肢起到了很好的保护作用；第5层由于存在刚度突变，有一片剪力墙处于轻度损坏状态，如图6所示。由图5和图6可见，同一楼层不同位置的同类构件损伤状态可能不同，尤其是对于楼板开洞、竖向收进等刚度突变部位，受力及变形复杂，构件损伤状态往往重于同楼层的其他同类构件。

提取结构构件损伤状态组装原始样本矩阵，矩阵每行表示1次时程分析的结果，每列表示1个构件的损伤状态，矩阵的规模是20×11 939。采用FEMA P-58^[3]方法，对原始样本矩阵进行扩充，产生1000个模拟样本。按《韧性评价标准》统计1000个模拟样本的结构构件的修复费用、修复时间及人员伤亡指标。这部分功能在自主研发的非线性动力分析软件SAUSG中开发完成。

需要说明的是，由于本文模型人员受伤率和死亡率样本分布过于集中，无法正常拟合对数正态分布曲线，本文做了一些数值处理，假设名义受伤率、死亡率大于0时满足对数正态分布，采用Box-Muller算法利用均匀分布的随机数产生正态分布的随机数，对数均值取名义受伤率、名义死亡率的对数，对数标准差取0.2。数值处理后，人员受伤率、死亡率样本分布集中现象大大改善，可以正常拟合对数正态分布曲线。

图  5  框架损伤情况

Figure  5.  Damage state of frame

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图  6  剪力墙损伤情况

Figure  6.  Damage state of wall

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采用“韧性评价系统”中规范化数量估计工具来估计非结构构件信息，建筑使用类型是办公楼。取层间位移角和楼层加速度作为工程需求参数，导入“韧性评价系统”进行非结构构件的韧性评价。

2.2   修复费用

按定额计算得结构构件造价为4008万元，非结构构件造价为6455万元，总造价为10463万元。绘制结构构件1000个模拟样本的修复费用指标散点图，并进行概率统计，如图7所示。将修复费用区间划分为30组，统计落在各组的频数，绘制概率密度图并用对数正态分布曲线拟合，中位数为1.84%，对数标准差为0.22，得84%保证率的拟合值为2.30%，即92万元。“韧性评价系统”输出非结构构件84%保证率的拟合值为0.48%，即31万元。将结构构件修复费用与非结构构件修复费用相加，得总修复费用为123万元，除以建筑总造价得修复费用指标为1.2%。按20组地震动、对数标准差为0.22计，代入式(14)得置信水平为0.95的84%保证率的修复费用指标为1.4%，修复费用评级为三星。

图  7  修复费用概率分析

Figure  7.  Probability analysis of repair cost

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2.3   修复时间

绘制结构构件1000个模拟样本的修复时间散点图，并进行概率统计，如图8所示。将修复时间区间划分为30组，统计落在各组的频数，绘制概率密度图并用对数正态分布曲线拟合，中位数为6.3天，对数标准差为0.15，得84%保证率的拟合值为7.3天。“韧性评价系统”输出非结构构件第一阶段修复工作84%保证率的修复时间为0.2天，为楼梯修复时间，第二阶段修复工作84%保证率的修复时间为13.1天。将结构构件修复时间与楼梯修复时间取包络，得第一阶段修复时间为7.3天。将第一阶段修复时间与第二阶段修复时间相加，得总修复时间为20.4天。按20组地震动、对数标准差为0.15计，代入式(14)得置信水平为0.95的84%保证率的修复时间指标为22.9天，修复时间评级为二星。

图  8  修复时间概率分析

Figure  8.  Probability analysis of repair time

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2.4   人员伤亡

绘制结构构件1000个模拟样本的人员受伤率散点图，并进行概率统计，如图9所示。将受伤率区间划分为30组，统计落在各组的频数，绘制概率密度图并用对数正态分布曲线拟合，中位数为1.1×10⁻⁴，对数标准差为0.11，得84%保证率的拟合值为1.3×10⁻⁴。“韧性评价系统”输出非结构构件84%保证率的受伤率为0。由于按照《韧性评价标准》楼层破坏等级取结构构件确定的楼层破坏等级和非结构构件确定的楼层破坏等级的较大值，因此将结构构件确定的受伤率和非结构构件确定的受伤率取包络，得84%保证率的受伤率为1.3×10⁻⁴。按20组地震动、对数标准差为0.11计，代入式(14)得置信水平为0.95的84%保证率的受伤率为1.4×10⁻⁴。

图  9  受伤率概率分析

Figure  9.  Probability analysis of injury rate

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绘制结构构件1000个模拟样本的人员死亡率散点图，并进行概率统计，如图10所示。将死亡率区间划分为30组，统计落在各组的频数，绘制概率密度图并用对数正态分布曲线拟合，中位数为1.1×10⁻⁵，对数标准差为0.13，得84%保证率的拟合值为1.3×10⁻⁵。“韧性评价系统”输出非结构构件84%保证率的死亡率为0。将结构构件确定的死亡率和非结构构件确定的死亡率取包络，得84%保证率的死亡率为1.3×10⁻⁵。按20组地震动、对数标准差为0.13计，代入式(14)得置信水平为0.95的84%保证率的死亡率为1.4×10⁻⁵。因此人员伤亡评级为二星。

图  10  死亡率概率分析

Figure  10.  Probability analysis of dead rate

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综合修复费用、修复时间和人员伤亡三项指标，建筑韧性评价等级可达到二星。

2.5   基于强度的韧性评价

将地震动主方向峰值加速度设为125 cm/s²、150 cm/s²、175 cm/s²、200 cm/s²及220 cm/s²进行基于强度的韧性评价。采用图3所示的地震动进行非线性动力时程分析，考虑双向地震作用，主方向与次方向峰值加速度比值为1∶0.85，采用前述韧性评价方法进行结构构件韧性评价。

绘制各地震强度结构构件修复费用、修复时间对数正态累积概率曲线如图11和图12所示。由于人员伤亡率较低，暂不统计。

图  11  修复费用指标累积概率分布曲线

Figure  11.  Cumulative probability distributions of repair cost index

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图  12  修复时间累积概率分布曲线

Figure  12.  Cumulative probability distributions of repair time

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统计各地震强度结构构件修复费用、修复时间84%保证率的拟合值，并采用式(14)计算置信水平为0.95时的置信上限，如图13和图14所示。

图  13  修复费用指标随地震强度变化曲线

Figure  13.  Repair cost index at different earthquake intensities

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可见，随着地震强度的增大，修复费用指标呈非线性增长，修复时间接近线性增长，修复费用和修复时间离散性均增大。该复杂框架剪力墙结构在6度罕遇地震时结构性能很好，但在7度罕遇地震时结构损坏严重，韧性下降较多。

图  14  修复时间随地震强度变化曲线

Figure  14.  Repair time at different earthquake intensities

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3   结论

本文针对复杂建筑对原有的建筑抗震韧性评价方法做出了一些改进，并通过一复杂框架剪力墙结构案例验证了改进后的韧性评价方法的合理性和可行性，得出了以下结论：

(1) 根据非线性时程分析材料应力-应变或构件转角判断结构构件损伤状态的方法，增强了抗震韧性评价方法对于没有层概念的空间结构的适用性，提高了存在楼层变形不均匀、扭转不规则等情况的结构的构件损伤状态判断结果的准确性。

(2) 采用抗震韧性评价指标给定置信水平的置信上限进行抗震韧性评级，考虑了地震动数目及时程分析结果离散性的影响，提升了韧性评价结果的可靠性。文中推导的抗震韧性评价指标置信上限简化算法，可为工程师估计韧性评价指标置信上限提供参考。

(3) 由于人工模拟地震动加速度时程曲线的反应谱跟规范反应谱接近，离散性比实际强震记录更小，修复费用、修复时间、人员伤亡率对数标准差更小，84%保证率的韧性评价指标也更小，结果偏于不安全，因而要保证原始时程分析地震动中包含足够多的实际强震记录。