图1 双平行导线间的导电梁
Fig.1 Conductive beam between two parallel wires
胡宇达1,2，张明冉1,2
(1．燕山大学建筑工程与力学学院，河北，秦皇岛 066004；2．河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，河北，秦皇岛 066004)
摘 要:研究轴向运动载流梁在两平行导线产生磁场中的主共振问题。给出两平行导线间载流梁处磁感应强度及所受电磁力表达式，推得轴向运动载流梁的横向振动微分方程。应用伽辽金积分法，得到轴向运动梁无量纲化的非线性振动微分方程。采用多尺度法进行求解，得到系统关于前两阶模态非线性方程的近似解析解以及主共振幅频响应方程。通过算例，得到了轴向运动载流梁共振幅值随调谐参数、载流电流密度、导线电流和位置的变化关系曲线图。结果表明，各相关物理和几何参数的改变对系统共振特征有较大影响，且非线性振动特征较为明显。
关键词:载流梁；轴向运动；主共振；平行导线；多尺度法
在工程领域中，轴向运动结构应用非常广泛，比如电磁驱动运动器件、电磁发射导轨、输送机的传送带和流体输送管道等都可简化成轴向运动梁的模型，因此研究磁场中轴向运动结构的磁弹性振动对于理论发现具有重要意义。近几年，国内外学者针对轴向运动结构的动力学理论建模等问题进行了研究，胡宇达等[1―2]针对磁场环境中轴向运动导电导磁梁和薄板的磁弹性耦合振动的理论建模问题进行研究，并且推导出了载流梁和薄板的磁弹性振动微分方程；Riedel等[3]研究了轴向运动导电梁在3∶1内共振条件下的横纵耦合强迫振动问题，并采用 4阶伽辽金离散化处理振动方程；黄建亮等[4]对轴向运动梁在不同运动速度下的非线性振动问题进行分析，最终得到了带三次非线性项的多自由度方程；李成等[5―6]基于Euler梁模型研究了初始应力作用下轴向运动功能梯度材料梁的横向振动问题,并推导出了控制方程；胡宇达等[7]针对磁场环境中轴向变速运动导电矩形薄板的磁弹性参数振动问题进行研究；陈强等[8]推导出了轴向变速运动弯曲梁的时域控制方程和边界条件，建立了轴向变速运动弯曲梁的有限元模型。此外，针对梁和薄板的非线性振动及稳定性研究方面，Xue等[9]研究了正交各向异性和磁弹性矩形板的非线性主共振问题；Li等[10]研究了两端夹支条件下轴向运动梁的横向振动及稳定性；Pakdemirli和 Pratiher等[11―12]分别对轴向运动及磁场中周期载荷作用下悬臂梁的主参数振动及稳定性等问题进行了研究；Pellicano等[13]研究了消除梁的抗弯刚度下轴向运动梁的弱非线性振动问题；Chen和Wu等[14―15]研究了轴向脉冲速度运动下粘弹性梁的非线性振动，对横向磁场和热负荷作用下梁的大幅度振动及动态稳定性进行了分析；Ghayesh等[16―17]研究了轴向运动Timoshenko梁的双模态非线性参数共振；Hu等[18―19]对磁场中轴向运动矩形薄板的非线性参数振动及稳定性进行研究，分析了磁场中轴向移动薄板的强非线性谐波共振和混沌运动现象；Ozkaya等[20]应用多尺度法对加速运动梁的动力稳定性进行了研究；Ding等[21]研究了轴向运动粘弹性梁的非线性强迫振动问题，分析了轴向速度、边界条件等参数对结构振动频率及动力稳定性的影响；刘金堂等[22]分析了受周期激励轴向运动大挠度板横向振动的稳定性及分岔现象；Yang等[23]研究了轴向运动梁纵向和横向耦合振动的非线性动力学特性。
总之，针对轴向运动梁的振动问题已取得许多研究成果，而对于电磁场中的耦合振动问题的研究相对较少。本文在已有工作基础上，进一步研究磁场为双平行载流导线产生情况，且考虑了导电梁的振动位移与磁场分布间的相互耦合作用，推导出了轴向运动梁所受电磁力的级数展开形式，对系统的磁弹性非线性主共振问题进行理论求解和数值算例分析。
考虑一载流梁在与其平行的双载流导线产生的磁场中，沿着x轴方向以速度c做轴向运动，并且受到轴向拉力F0x作用。如图1所示，梁长为l，宽为b，高为h，弹性模量为E，质量密度为ρ，通入电流的密度矢量为J0x=[J0cosωt,0,0]，ω为外加电流的角频率，通入导线的电流分别为I1和I2，导线与梁的距离为d1和d2。
图1 双平行导线间的导电梁
Fig.1 Conductive beam between two parallel wires
通电导线周围存在磁场，载流梁所在位置的磁感应强度为:
式中:μ0为真空磁导率，当通入的电流I1与I2同向时取“-”，反向时取“+”。
文献[1]建立了任意磁场中轴向运动导电梁的磁弹性振动方程，本文进一步考虑了平行导线产生磁场情况，因此对于轴向运动导电梁具有下面的振动方程形式:
式中:
0σ为导电率；
为截面惯性矩；A=b×h为梁的截面积。
将式(1)代入式(2)中，经整理可得:
将式(3)用泰勒级数展开，略去立方以上的高阶项，并通入同向的电流，可以得到载流梁的横向非线性振动方程:
式中:
当轴向运动载流梁受两端铰支约束时，其边界条件为:
设满足两端铰支梁边界条件关于式(4)的位移解为如下模态展开形式:
将式(5)代入式(4)中，当n=2时，采用伽辽金积分并无量纲化可推得横向振动微分方程组:
式中，
应用多尺度法求解方程组式(6)时，需在方程组等号右端引入小参数ε，只讨论一阶近似解，令近似解为:
式中，T1=τ，T2=ετ为引入的时间尺度。
将式(7)代入式(6)中展开，令同幂次系数相等，可以得到:
关于0ε的近似方程:
关于1ε的近似方程:
式中:
设式(8)的通解形式为:
式中:i2=-1；A为未知复数；
为A的共轭复数。将式(10)代入式(9)中可得:
下面分别针对两种共振情况进行分析。
1)Ω≈ω1情况
此时设Ω=ω1+εσ，其中σ为引入的调谐参数。由式(11)可知，为避免久期项，必须令A满足:
将复函数An写成如下指数形式:
其中，an(T1)、βn(T1)均是T1的实函数，n=1,2。
然后将式(13)代入式(12)中，实部与虚部相分离，并令γ1=σT1-β1，可得:
由式(14)可知，1阶与2阶相互耦合。对于稳态运动的情况，令
都为零，可知只有在a2为零解时，才能满足
为零，所以只存在于1阶模态函数非零解的主共振幅频响应方程:
2)Ω≈ω2情况
此时设Ω=ω2+εσ，同理由式(11)可知，为避免久期项，必须令A满足:
同理将式(13)代入式(16)中，实部与虚部相分离，可得:
对于稳态运动的情况，令式(17)中
都为零并且联立有:
可得关于a1和a2方程:
由式(19)可知，只有当a1=a2=0 时成立，不存在稳态的非零解。所以在主共振系统中，第1阶、第2阶模态幅值都将逐渐衰减并趋于零值，其共振现象不会被激发。
下面以轴向运动铜制材料导电梁进行算例分析。主要参数为：梁长l=0.3m，高h=0.01m，宽b=0.02m，轴向速度c=55m/s，轴向拉力F0x=2kN，弹性模量E=108GPa，导电率σ0=5.7143×107(Ω·m)-1，真空磁导率μ0=4π×10-7H/m，密度ρ=8920kg/m3。
对梁的主共振问题进行计算分析，应用幅频响应方程式(15)，图2～图5给出了系统1阶主共振幅值与调谐参数、电流密度、导线电流、导线与梁的距离的关系曲线图；图6～图7为对式(6)进行数值求解给出的不同调谐参数和电流密度下的时程图。
图2 主共振幅频响应图
Fig.2 The curve of amplitude frequency in primary resonance
图2 为I2=9000 A、d2=0.05 m 时不同导线电流、导线与梁的距离、电流密度条件下1阶共振幅值a1随调谐参数εσ变化规律曲线图。图中表明，在给定εσ范围内，共振幅频响应曲线向右偏移，呈现硬弹簧特性，随着εσ的改变，系统出现多值性和跳跃现象，呈现典型的非线性振动特点。
由图2(a)和图2(b)表明，随着导线与梁的距离d1的增大，导线电流I1的减小，共振主架曲线呈明显的内缩趋势，多值区变大；图2(c)表明随着电流密度的减小，共振曲线主架呈现内缩趋势。
图3 主共振幅值-电流密度曲线图
Fig.3 The curve of amplitude-current density in primary resonance
图3 为I2=9000 A、d2=0.05 m 时不同导线电流、导线与梁距离、调谐参数下共振幅值a1随电流密度J0变化规律曲线图。图中表明，随着电流密度的增加，系统开始会出现多值现象，当电流密度增大到一定值后，解退化为较大的单值。由图3(a)和图3(b)可知，随着梁与导线的距离d1的减小及导线电流I1的增大，在多值区域交点以前，共振幅值会呈现先增大后减小然后再增大的现象，而在单值区内，共振幅值一直呈增大趋势；图3(c)可知，随调谐参数的减小，在多值区域内，共振幅值呈先增大后减小趋势，而在单值区域内，共振幅值呈增大变化趋势。
图4 主共振幅值-导线电流曲线图
Fig.4 The curve of amplitude-conductor current in primary resonance
图4 为d2=0.05 m 时不同导线电流I2、导线与梁的距离、电流密度、调谐参数条件下共振幅值a1随导线电流I1的变化规律曲线图。图中表明，随着导线电流I1的增大，下支曲线的共振幅值呈现先减小后增大趋势，电流增大到一定值出现多值现象，当I1增加到某一值使磁感应强度By≈0时，共振幅值变为零，可以看出图中曲线在多值区关于幅值为零的这一点局部对称。
由图4(a)可知，随着导线与梁的距离d1的增加，多值区变宽，共振幅值为零的点向右移动；图4(b)随着导线电流的增加，多值区变化不大，曲线整体向右移动；图4(c)随着调谐参数的增大，多值区上支曲线逐渐向上移动，且逐渐内缩并最终分离出两个对称的封闭曲线；图4(d)随着电流密度J0的增大，共振幅值零点位置不变，多值区逐渐变大。
图5为I2=9000 A 时不同电流密度、调谐参数、导线电流、导线与梁的距离d2条件下共振幅值a1随导线与梁的距离d1的变化规律曲线图。图中表明，随着距离d1的增大，单值区共振幅值逐渐增大，达到一个峰值，然后到达多值区，下支曲线幅值逐渐减小，上支曲线幅值逐渐增大，距离d1增大到某一值时，共振幅值减小为零。
图5 主共振幅值-导线位置曲线图
Fig.5 The curve of amplitude-wire position in primary resonance
由图5(a)可知，随着距离d2的增大，多值区变宽，退化为单值后共振幅值逐渐变小；图5(b)随着导线电流的增加，曲线整体向右移动；图5(c)随着调谐参数的增大，多值区逐渐内缩成封闭的不对称曲线，曲线逐渐分成上下支；图5(d)随着电流密度J0的增大，共振幅值零点位置不变，多值区变大，退化为单值后共振幅值逐渐增大。
图6～图7 为取I2=9000 A，d1=0.04 m，d2=0.05m时的时程响应图，比较发现，数值解所得的幅值与上面解析解是相吻合的。
图6为I1=13000A，J0=2 A/m m2时变化调谐参数下的时程响应图，可见，当εσ=-0.01时有一个稳定解，当εσ=0.009时系统出现两个稳定解，当εσ=0.02时系统又变为一个稳定解，变化规律与图2(b)中的多解性情况相吻合。图7为I1=15000A，εσ=0.025时变化电流密度下的时程响应图，可见。当J0=4 A/mm2时有一个稳定解，当J0=6 A/mm2时系统出现两个稳定解，当J0=10 A/m m2时系统又变为一个稳定解，变化规律与图3(b)中的多解性情况相吻合。
图6 不同调谐参数下的时程图
Fig.6 The time history response diagrams in different frequency
图7 不同电流密度下的时程图
Fig.7 The time history response diagrams in different current density
本文推导出两平行导线间轴向运动导电梁2阶模态下的磁弹性振动微分方程及主共振幅频响应方程。通过数值算列，得到了物理和几何参数对系统主共振幅值的影响，结果表明:
(1)轴向运动梁的幅频响应曲线具有多值性和跳跃性现象，曲线向右偏移，呈现硬弹簧特性，系统呈现典型的非线性振动特征，且数值解结果与解析解相吻合。
(2)由振幅随电流变化关系可以看出，当电流增加到某一值，1阶主共振幅值为零，曲线关于该点呈现局部对称。
(3)由振幅随距离的变化关系可以看出，随着距离的增加下支曲线会先出现一个上峰值，然后会出现幅值变为零的临界下峰值点，该点对应上支双环型曲线的相交位置。
参考文献:
[1]胡宇达, 张立保. 磁场中轴向运动导电导磁梁的磁弹性振动方程[J]. 应用数学和力学, 2015, 36(1): 70－77.Hu Yuda, Zhang Libao. Magneto-elastic vibration equations for axially moving conductive and magneticbeams [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2015,36(1): 70－77. (in Chinese)
[2]胡宇达. 轴向运动导电薄板磁弹性耦合动力学理论模型[J]. 固体力学学报, 2013, 34(4): 417－425.Hu Yuda. Magneto-elastic coupled dynamics theoretical model of axially moving current-conducting thin plate[J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2013, 34(4):417－425. (in Chinese)
[3]Riedel C H, Tan C A. Coupled forced response of an axially moving strip with internal resonance [J].International Journal of Non-Linear Mechanics, 2002,37(1): 101―116.
[4]黄建亮, 陈树辉. 不同运动速度下轴向运动梁的非线性振动研究[J]. 中山大学学报, 2008, 47(2): 1－4.Huang Jianliang, Chen Shuhui. Study on nonlinear vibration of axially moving beams with varying velocities [J]. Journal of SunYat-sen University, 2008,47(2): 1－4. (in Chinese)
[5]李成, 随岁寒, 杨昌锦. 受初应力作用的轴向运动功能梯度梁的动力学分析[J]. 工程力学, 2015, 32(10):226－232.Li Cheng, Sui Suihan, Yang Changjin. Dynamic analysis of axially moving functionally graded beams subjected to initial stress [J]. Engineering Mechanics, 2015, 32(10):226－232. (in Chinese)
[6]李成, 姚林泉. 轴向运动超薄梁的非局部动力学分析[J]. 工程力学, 2013, 30(4): 367－372.Li Cheng, Yao Linquan. Nonlocal dynamical analysis on axially travelling ultra-thin beams [J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(4): 367－372. (in Chinese)
[7]胡宇达, 孙建涛, 张金志. 横向磁场中轴向变速运动矩形板的参数振动[J]. 工程力学, 2013, 30(9): 299－304.Hu Yuda, Sun Jiantao, Zhang Jinzhi. Parametric vibration of axially accelerating rectangular plate in transverse magnetic field [J]. Engineering Mechanics, 2013, 30(9):299－304. (in Chinese)
[8]陈强, 杨国来, 王晓锋. 轴向变速运动弯曲梁的固有频率分析[J]. 工程力学, 2015, 32(2): 37－44.Chen Qiang, Yang Guolai, Wang Xiaofeng. Analysis of the natural frequency of an axially moving beam with non-uniform velocity [J]. Engineering Mechanics, 2015,32(2): 37－44. (in Chinese)
[9]Xue Chunxia, Pan E, Han Qike, et al. Non-linear principal resonance of an orthotropic and magneto-elastic rectangular plate [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011, 46(5): 703－710.
[10]Li Xiaojun, Chen Liqun. Transverse vibration and stability of an axially moving beam with pinned and fixed ends [J]. Journal of Mechanical Strength, 2006,28(5): 654―657.
[11]Pakdemirli M, Boyacm H. Non-linear vibrations and stability of an axially moving beam with time-dependent velocity [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2001, 36(1): 107－115.
[12]Pratiher B. Non-linear response of a magneto-elastic translating beam with prismatic joint for higher resonance conditions [J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 2011, 46(5): 685－692.
[13]Pellicano F, Zirilli F. Boundary layers and non-linear vibrations in an axially moving beam [J]. British Journal of Surgery, 1998, 75(33): 691－711.
[14]Chen Liqun, Yang Xiaodong. Steady-state response of axially moving viscoelastic beams with pulsating speed:comparison of two nonlinear models [J]. International Journal of Solids & Structures, 2005, 42(1): 37－50.
[15]Wu Guanyuan. The analysis of dynamic instability on the large amplitude vibrations of a beam with transverse magnetic fields and thermal loads [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 302(1/2): 167―177.
[16]Ghayesh M H, Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of an axially moving Timoshenko beam with an intermediate spring support [J]. Mechanism & Machine Theory, 2013, 67(67): 1－16.
[17]Ghayesh M H, Kafiabad H A, Tyler R. Sub and super-critical nonlinear dynamics of a harmonically excited axially moving beam [J]. International Journal of Solids and Structures, 2012, 49(1): 227－243.
[18]Hu Yuda, Zhang Jinzhi. Principal parametric resonance of axially accelerating rectangular thin plate in magnetic field [J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2013,34(11): 1405－1420.
[19]Hu Yuda, Hu Peng, Zhang Jinzhi. Strongly nonlinear subharmonic resonance and chaotic motion of axially moving thin plate in magnetic field [J]. Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, 2015, 10(2):021010-1－021010-12.
[20]Ozkaya E, Pakdemirli M. Vibrations of an axially accelerating beam with small flexural stiffness [J].Journal of Sound and Vibration, 2000, 234(3): 521－535.
[21]Ding Hu, Chen Liqun. Galerkin methods for natural frequencies of high-speed axially moving beams [J].Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(17): 3484－3494.
[22]刘金堂, 杨晓东, 张宇飞. 轴向运动大挠度板的非线性动力学行为[J]. 工程力学, 2011, 28(10): 58－64.Liu Jintang, Yang Xiaodong, Zhang Yufei. Nonlinear dynamical behaviors of axially moving large deflection plates [J]. Engineering Mechanics, 2011, 28(10): 58－64.(in Chinese)
[23]Yang Xiaodong, Zhang Wei. Nonlinear dynamics of axially moving beam with coupled longitudinaltransversal vibrations [J]. Nonlinear Dynamics, 2014,78(78): 2547－2556.
NONLINEAR-PRIMARY RESONANCE OF AXIALLY MOVING CURRENT-CARRYING BEAMS BETWEEN TWO PARALLEL WIRES
HU Yu-da1,2, ZHANG Ming-ran1,2
(1. School of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China;2. Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipment and Large Structures of Hebei Province, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China)
Abstract:The magneto-elastic primary resonance of an axially moving current-carrying beam is investigated,where the beam move between two parallel and infinite long straight current-carrying wires. According to the principles of an electromagnetic field, the expressions of the electromagnetic force loading on the current-carrying beam is developed. Based on the Hamiltonian principle, the transverse vibration control equations of an axially moving current-carrying beam is derived. The non-dimensional nonlinear differential equation of an axially moving beam is obtained by means of Galerkin method. The approximate analytical solution of first two-order modal nonlinear equation and the primary resonance-amplitude-frequency response equation are derived by means of the multiple scales method. Through computational examples, the resonance amplitude of the axially moving current-carrying beam varying with frequency parameters, current-carrying density, current of wire, and the position variation relationship are obtained. The results show that there is an obvious nonlinear behavior and a great influence on the resonance characteristics of the system when the relevant physical and geometric parameters are changed.
Key words:current-carrying beam; axially moving; primary resonance; two parallel wires; multi-scale method
作者简介:张明冉(1992―)，女，内蒙古人，硕士生，主要从事结构磁弹性振动研究(E-mail:zlxiaoranran@163.com).
通讯作者:胡宇达(1968―)，男，黑龙江人，教授，博士，博导，主要从事非线性动力学、电磁弹性力学研究(E-mail: huyuda03@163.com).
基金项目:国家自然科学基金项目(11472239)；河北省自然科学基金项目(A2015203023)
收稿日期:2017-07-04；修改日期:2018-03-07
文章编号:1000-4750(2018)10-0238-11
doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2017.07.0520
文献标志码:A
中图分类号:O322；O442