潘兆东1，谭 平2，周福霖2,3
(1．东莞理工学院建筑工程系，东莞 523808；2．广州大学工程抗震研究中心，广州 510405；3．湖南大学土木工程学院，长沙 410082)
摘 要:该文针对模型参数不确定的非线性结构半主动分散控制问题进行研究。首先，采用退化Bouc-Wen滞回模型模拟层间恢复力，并考虑模型参数(质量、刚度和阻尼)不确定及子系统间的耦合项，建立了子控制系统误差状态方程；在此基础上，设计了由保性能控制项和自适应逼近控制项构成的子控制器，其中，保性能控制项通过求解转化为线性矩阵不等式的保性能控制问题得到，逼近控制项通过 RBF神经网络自适应控制律确定，同时利用 Lyapunov稳定性理论对其稳定性及权值有界性进行证明；从而建立了适用于不确定结构非线性振动控制的保性能自适应RBF神经网络鲁棒分散控制(GCARBF)算法。最后，对一8层非线性结构进行MR半主动分散控制设计及0.3g～ 0.8g地震下仿真分析，结果表明了所提算法的有效性与优越性。
关键词:MR半主动控制；鲁棒分散控制；自适应RBF神经网络控制；保性能控制；Lyapunov稳定性理论；线性矩阵不等式方法
结构主动/半主动等智能控制系统采用分散控制方法可以显著提高系统的控制性能，从而满足更高的安全和功能要求。其控制思想是采用“分散采集、分散处理、分散控制”的多中心控制方案[1]，相应子控制器的设计多建立在结构计算模型精确且处于线性状态的前提下，那么，在大震或罕遇地震下，系统必然会面临如下问题:1)结构不可避免地进入非线性状态，结构构件的强度、刚度可能发生退化，基于线性模型设计的控制器性能必然下降；2)结构实际模型与计算模型存在较大偏差时，由单一控制器构成的集中控制系统的稳定性和控制效果也必然会受到不可忽视的影响；3)当结构的非线性与不确定性同时存在且产生耦合时，控制系统将面临失效甚至加剧结构反应的现象。因此，研究适用于不确定结构非线性振动控制的鲁棒分散控制算法具有十分重要的现实意义。
文献[2―14]分别基于市场机制、神经网络、瞬时最优、滑动模态、LQG、LMI、模糊迭代等方法研究了相应的分散控制算法，但均未考虑结构不确定性及结构进入非线性状态对系统控制性能的影响；文献[15―16]研究了具有鲁棒特性的滑动模态和 H2/H∞状态反馈分散控制算法；文献[17]基Lyapunov稳定性理论设计一种适用于结构非线性振动的自适应模糊分散控制算法。文献[18]基于混合粒子群算法提出了局部最优和整体最优分散控制方法。
本文在结合线性矩阵不等式方法、保性能控制理论、RBF神经网络理论和Lyapunov稳定性理论的基础上提出一种适用于不确定结构非线性振动控制的保性能自适应 RBF神经网络鲁棒分散控制(GCARBF)算法。采用退化Bouc-Wen滞回模型模拟层间恢复力，进而建立同时考虑结构非线性振动、模型参数不确定性(质量、刚度和阻尼)及子系统之间耦合项的子控制系统运动方程，并将其转化为与之等价的误差状态方程；在此基础上，设计了由保性能控制项和自适应逼近控制项组成的保性能自适应控制律，其中，保性能控制项用于保证结构线性状态时的响应控制，其可通过求解保性能控制问题的线性矩阵不等式得到，逼近控制项则利用RBF自适应控制律来逼近模型不确定、子结构非线性振动及子系统间相互作用力，并对自适应控制律的稳定性及权值有界性进行证明。最后，对一8层非线性结构进行MR半主动分散控制设计及仿真分析。
地震激励下，n层受控非线性结构的运动方程为:
式中:x为结构相对于地面的位移；M和C分别为结构的质量矩阵及阻尼矩阵；f为结构层间恢复力；u为控制力；b为主动/半主动控制装置的位置矩阵；˙
g为地震激励。
层间恢复力可表示为由弹性恢复力和滞变恢复力共同构成的形式:
式中:α为结构屈服后刚度与屈服前刚度比值；K为结构屈服前初始刚度矩阵；v为结构滞变位移，其采用文献[19]提出的反映滞变力退化过程的Bouc-Wen滞变位移微分方程来模拟，式(3)为退化Bouc-Wen模型表达式:
式中:ns为曲线光滑程度；η、μ和τ均是累积滞变耗能(Eh)的函数，可以表示为:
式中:δη、δv和δτ均是非负的常数；τ0为初始值。
假设原控制系统分解后存在N个局部子控制器，任一子系统运动方程可表示为:
式中:xi、x˙i和˙xi˙分别为子结构位移、速度和加速度响应；
g为地震激励；Mi和Ci分别为ni×ni的子结构质量矩阵和阻尼矩阵；fi为子结构非线性恢复力项；gi为子系统之间的耦合项；bi和ui分别为子系统控制力位置矩阵和控制力向量。
考虑子结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵存在不确定性(
同时，将不确定部分(
)和层间恢复力合记为
，耦合项记为
，记
设计子系统等价控制律为:
控制律表达式(6)中uei为保性能控制项，其用于保证结构线性状态时的响应控制，通过求解转化为保性能控制问题的线性矩阵不等式可获得相应的保性能控制增益项；
项采用RBF神经网络自适应逼近，记
RBF逼近输出为
，将式(6)代入式(5)，并忽略外部激励，则有:
令子系统i的期望响应xid=0 ，其响应误差为ei=xi，记
则式(7)可以表示为如下形式的误差状态方程:式中:
径向基函数(Radial Basis Function，RBF)网络模拟了人脑中局部调整、相互覆盖接受域的神经网络结构，已证明RBF网络能以任意精度逼近任意连续函数[20]。因此，本文采用自适应 RBF神经网络逼近式(6)中
项。典型三层多输入单输出的RBF网络结构如图1所示。
图1 RBF神经网络结构
Fig.1 The structure diagram of RBF neural network
本文RBF神经网络中，
表示网络输入，ni为子结构的自由度数，
hj表示第j个神经元的输出，即:
式中：cj= [cj1,cj2,…,cjm]，j= 1 ,2,… ,m，为第j个隐层神经元的中心点向量值；bj＞ 0 为神经元j的高斯基函数宽度。网络权值为：
RBF网络的输出为：
定义 RBF网络逼近误差为:ε=
(e,w*)-Fi，max||ε||≤ε0，w*为最佳网络权值，则有:
记
则式(8)可以表示为:
1.3.1 保性能项状态反馈控制律
当结构模型精确且未进入非线性状态，则用于保障结构线性状态控制效果的保性能项控制律为:uei=Giei，将其代入式(12)，则有:
定义如下二次型指标:
式中，Qi和Ri为对称正定矩阵。
如果存在对称正定矩阵Pi，且满足如下不等式，那么，式(14)是二次稳定的。
根据Schur补引理[21]，不等式(15)等价为:
式中，Λi=(Ai+BiGi)TPi+Pi(Ai+BiGi)。对式(16)分别左乘和右乘矩阵 diag([Pi-1II])，并记
式(16)可以转变为:
式中，
根据式(14)和系统的渐进稳定性，并假定结构初始状态误差e(0)是一个满足E{eT(0)e( 0)}=I的零均值随机变量，可得J=E(J)≤E(eT(0)Pie(0))，则相应系统性能上界为
。因此，如果不等式(17)有解(Hi，Si)，则
是系统式(13)的保性能状态反馈控制律。
1.3.2 逼近项保性能自适应控制律
为推导保性能自适应控制律，定义如下Lyapunov函数:
式(18)中Pi为保性能正定矩阵。
为满足如下条件:1)
≤0；2)RBF网络权值有界。选取保性能自适应控制律为:
式中，δi＞0。
由于F范数
，则对Lyapunov函数求导，有:
式中:
，则式(20)可以转化为:
将自适应律式(19)代入式(21)，有:
由于
则根据F范数性质有:
式中
为矩阵Qi特征值的最小值；λmax(Pi)是矩阵Pi特征值的最大值。
因此，为保证
≤0，则必须满足:
式(25)即可保证权值有界。
同理可得ei的收敛半径为:
由式(26)可知:
特征值越大，Pi特征值越小，神经网络逼近误差上届ε0越小，则ei收敛半径越小，保性能自适应神经网络的逼近效果越好。
定义状态变量z={x
˙}T。LQG 集中控制器根据线性结构模型参数设计，即f=Kx，则原运动方程式(1)可表示为如下状态方程形式:
式中:
其中，n为结构维数，p为结构中作动器的个数；y为观测输出量，其维数根据观测需求确定；
、D和F为适当维数的观测输出矩阵。式(27)中最优控制力
u=G。其中，G为根据线性二次最优控制理论求得的状态反馈增益矩阵，为由Kalman滤波器得到的结构状态响应估计值。
为了验证本文保性能自适应 RBF神经网络鲁棒分散控制算法的有效性，对一八层非线性结构[22]进行仿真分析。结构每层质量为 3.456×105kg，各层屈服前刚度分别为 3.4×105N/m、3.2×105N/m、2.85×105N/m、2.69×105N/m、2.43×105N/m、2.07×105N/m、1.69×105N/m和1.37×105N/m，屈服后刚度与屈服前刚度之比为α=0.1，结构各层粘滞阻尼系数分别为 4.9×105N·s/m、4.67×105N·s/m、4.1×105N·s/m、3.86×105N·s/m、3.49×105N·s/m、2.98×105N·s/m 、 2.43×105N·s/m 和 1.96×105N·s/m，结构屈服前第一自振频率为5.24 rad/s，结构各层屈服位移分别为:24 mm、23 mm、22 mm、21 mm、20 mm、19 mm、17 mm 和 15 mm，仅考虑刚度退化的 Bouc-Wen滞变位移模型参数分别为:τ=1、γ=β=0.5、η=95、δη=0.0001 和δv=δτ=0 。选择三条地震动记录:El Centro波、N. P. Spring波和Kobe波。
为便于比较说明，采用 LQG算法设计了 MR半主动集中控制工况。半主动分散控制工况采用保性能自适应RBF神经网络鲁棒分散控制算法设计，将原结构划分为两个子系统，子系统1:1层～4层，子系统2:5层～8层。GCARBF子控制器设计参数为:
=diag([50505050])，
=diag([10101010])，选择结构为 2×ni-5-
i(
i为子系统i内作动器数量)的RBF网络，高斯函数相关参数:cjx=ςjx[-0.1-0.0500.050.1]，ςjx分别取:0.5、0.5、0.6和 0.6；cjx˙=ςjx˙[-2.5-1.301.32.5]，ςjx˙分别取:0.077、0.154、0.231和 0.231；bj=70。自适应律式(20)中相应参数取:ri=8×104，δi=0.001，相应二次型指标权矩阵分别为Qi=diag([Qi1Qi2])和Ri=I，其中，Q11=Q12=diag([102.53102.28102.17101.97])，Q21=Q22=diag([101.97101.99101.90101.75])。
考虑在结构每层均布置一个MR阻尼器，阻尼器最大出力为 1000 kN。本文采用限幅最优(Clipped-optimal)控制算法进行半主动分散与集中控制设计。MR半主动控制装置力学模型采用现象模型模拟[23]，1000 kN磁流变阻尼器参数选择同文献[24]。该算法可以描述为:如果当前测得的MR阻尼器出力与相应分散控制算法或集中控制算法得到的理论控制力相等，则施加于阻尼器上的电压保持原有水平不变；如果实测控制力小于理论控制力且两者方向相同，则施加最大电压已逼近理论控制力；其他情况施加电压为零。电压的计算可以表示为:
式中:Vmax为施加在 MR阻尼器上的最大电压；H(⋅)为 Heaviside阶跃函数；ui为当前测得的 MR控制力；uai为GCARBF算法或LQG算法得到的理论控制力。
在频率为2 Hz、幅值为2 cm的正弦位移荷载作用下，采用现象模型仿真不同输入电压对应的MR阻尼器的位移-阻尼力曲线如图2所示，可以看出，当最大施加电压达到10 V时MR阻尼器最大出力可达1000 kN。
图2 MR阻尼器位移-阻尼力曲线
Fig.2 Force-displacement hysteresis loop of MR damper
考虑到篇幅有限，在进行 LQG集中控制和GCARBF分散控制减震效果结果分析时，仅以 El Centro地震激励幅值为 0.5g的结构响应进行绘图及说明本文的分析结果。El Centro波、N.P.Spring波和Kobe波地震激励不同幅值下，模型参数存在偏差情况的各工况评价指标平均值见表1～表3。
El Centro地震激励幅值为0.5g时，无控结构、LQG集中控制与GCARBF分散控制结构顶层位移时程响应顶层控制力时程和顶层MR阻尼器滞回耗能曲线分别如图3所示。从图3(a)可以看出，GCARBF分散控制结构顶层层间位移峰值响应较LQG集中控制而言有所改善，同时，在地震动持时内，分散控制下的控制效果均好于集中控制。图3(b)和图3(c)表明 GCARBF半主动分散控制系统控制力光滑，主动控制力与半主动控制力曲线基本吻合，较集中控制系统而言，子控制系统 2内顶层MR阻尼器滞回耗能曲线更加饱满。
El Centro地震激励幅值为0.5g时，无控结构、LQG集中控制及GCARBF分散控制结构各层最大层间位移、最大绝对加速度响应、MR阻尼器控制力峰值及均方根值比较曲线如图4所示。比较图4(a)和图4(b)中有控结构与无控结构的楼层响应图，可以发现，分散控制能更好地抑制结构各楼层的响应。其中，较集中控制而言，分散控制结构各层层间位移峰值控制效果有显著改善，最大提高:69.1%(第三层)，结构各层绝对加速度(除顶部外)峰值控制效果也得到不同程度的提高。通过比较集中控制与分散控制结构各层MR阻尼器控制力峰值及其均方根值对比曲线，可以看出本文所提出的保性能自适应 RBF神经网络分散控制方法在不需要大幅增加控制能量的前提下，可以较好的改善非线性结构的控制效果。
图3 顶层层间位移时程、顶层控制力时程及顶层阻尼器控制力-位移滞回曲线
Fig.3 Simulation results of the 8st floor: displacement response, control force time curve and control force-displacement hysteresis loop
图4 结构各层最大层间位移、最大绝对加速度、控制力峰值及均方根值
Fig.4 Simulation results:maximum inter-story displacement,maximum absolute accelerations, Peak and RMS values of control forces
图5 不同地震激励幅值下结构各层层间位移峰值
Fig.5 maximum inter-story displacement under different seismic excitation amplitude
为考察 GCABBF鲁棒分散控制算法的稳定性与优越性，将El Centro地震激励幅值从0.3g逐渐增大至0.8g，集中控制与分散控制结构各层层间位移峰值如图5所知。可以看出，不同地震动激励幅值下，GCARBF分散控制结构层间位移峰值控制效果均好于 LQG集中控制；同时随着地震激励幅值的增加，较GCARBF分散控制系统而言，LQG集中控制系统的控制效果急剧衰减。
分别考查结构参数(质量、阻尼和刚度)无偏差及同时存在偏差的情况，将前述三条地震激励分别调幅为0.3g、0.5g和0.7g，对无控结构、集中控制及分散控制结构进行仿真分析，相应结果见表1～表3。为便于比较分析，定义如下评价指标:
式中:
分别表示有控结构第i层层间位移峰值与绝对加速度峰值；
分别表示无控结构第i层层间位移峰值与绝对加速度峰值。
表1 结构响应评价指标(ΔM,C,K=0%)
Table 1 response evaluation indexes of structures withΔM,C,K=0%
比较表1中不同地震激励幅值下集中控制与分散控制结构各层评价指标，可以看出，结构质量、阻尼和刚度无偏差时，0.3g下，GCARBF分散控制与 LQG集中控制结构各层响应评价指标接近，且部分楼层控制效果有所改善，其中，评价指标J1和J2最大分别提高:6%和19%；0.5g与0.7g下，GCARBF分散控制结构各层控制效果较LQG集中控制而言有明显改善，其中，0.5g下，评价指标J1和J2最大分别提高:11%和20%，0.7g下，评价指标J1和J2最大分别提高:11%和26%。同时考虑结构质量、阻尼和刚度存在+20%偏差的情况，相应仿真分析结果见表2。可以看出，LQG集中控制的结构响应控制效果较结构参数无偏差工况而言有所下降，而基于 GCARBF分散控制方法的结构响应控制效果却较稳定。
表2 结构响应评价指标(ΔM,C,K=20%)
Table 2 response evaluation indexes of structures withΔM,C,K=20%
表3 结构响应评价指标(ΔM,C=20%，ΔK=-20%)
Table 3 response evaluation indexes of structures withΔM,C=20%,ΔK=-20%
表3为同时考虑结构质量、阻尼和刚度偏差为ΔM=20%、ΔC=20%和ΔK=-20%时的仿真分析结果，可以看出，0.3g下，GCARBF分散控制的结构响应控制效果更好，J1和J2较集中控制最大分别提高:21%和37%；0.5g和0.7g下，LQG集中控制器几近失效，部分楼层层间位移峰值与绝对加速度峰值控制效果接近0，而分散控制系统内各GCARBF子控制器却仍能很好的抑制结构的地震响应，控制效果理想，其中，0.5g下，评价指标J1和J2最大分别提高:21%和 34%，0.7g下，评价指标J1和J2最大分别提高:22%和 17%。因此，较传统 LQG控制算法而言，GCARBF鲁棒分散控制算法有很明显的优势，更适用于受控模型存在较大不确定性的非线性结构地震响应控制。
本文基于线性矩阵不等式方法、保性能控制理论和 RBF神经网络提出一种适用于非线性不确定结构的保性能自适应 RBF(GCARBF)神经网络鲁棒分散控制算法，并将其应用至MR半主动分散控制中，仿真分析结果表明:
(1)该算法能有效抑制非线性结构的地震响应，说明该算法是有效、可行的；
(2)结构模型参数无偏差时，改变地震激励幅值，GCARBF分散控制的结构响应控制效果稳定，且较传统LQG集中控制而言有一定程度改善；
(3)结构模型参数偏差较大时，0.3g下 LQG集中控制系统有较好的控制效果；0.5g与0.7g下LQG集中控制器性能急剧下降，对结构部分楼层失去控制作用，而采用 GCARBF鲁棒分散控制算法设计的分散控制系统仍能获得稳定、理想的控制效果，说明本文提出的 GCARBF非线性鲁棒分散控制算法优于传统LQG集中控制算法。
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SEMI ACTIVE NONLINEAR ROBUST DECENTRALIZED CONTROL BASED ON GUARANTEED PERFORMANCE ADAPTIVE RBF NEURAL NETWORK
PAN Zhao-dong1, TAN Ping2, ZHOU Fu-lin2,3
(1. Department Civil Engineering, Dongguan University of Technology, Dongguan 523808, China;2. Earthquake Engineering Research & Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China;3. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
Abstract:The semi active decentralized control of nonlinear structures with uncertain parameters is studied.Firstly, the degenerated Bouc-Wen hysteretic model is utilized to simulate the restoring forces, and the error state equation of a sub-control system is established by considering the uncertainty of the model parameters (mass,stiffness and damping)and the coupling between subsystems. Secondly, a sub-controller is designed which composes of a guaranteed cost control term and an adaptive approximation control term. The guaranteed cost control term is obtained by solving the guaranteed cost control problem which is transformed into a linear matrix inequality. The approximation control term is determined by the adaptive control law of RBF neural network, and its stability and boundedness of the weights are proved by Lyapunov stability theory. And then a guaranteed cost adaptive RBF neural network robust decentralized control (GCARBF)algorithm for nonlinear vibration control of uncertain structures is established. A nonlinear 8-story building is selected as a numerical example to evaluate thecontrol performances of the proposed algorithm. The MR semi active decentralized control design and the simulation analysis of 0.3g～0.8gintensity are carried out. Numerical simulation results indicate the effectiveness and superiority of the proposed algorithm.
Key words:MR semi-active control; robust decentralized control; adaptive RBF neural network control;guaranteed cost control; Lyapunov stability theory; linear matrix inequality method
周福霖(1939―)，男，广东人，教授，硕士，中国工程院院士，主要从事结构抗震与减震方面的研究(E-mail: zhoufl@cae.cn).
潘兆东(1986―)，男，陕西人，博士，主要从事工程结构减震控制研究(E-mail: pzd0101@126.com);
作者简介:
通讯作者:谭 平(1973―)，男，湖南人，教授，博士，主要从事结构抗震、减隔震研究(E-mail: ptan@gzhu.edu.cn).
基金项目:科技部“十二五”支撑计划子课题(2012BAJ07B02)；国家自然科学基金项目(97315301-07，51408142)；教育部创新团队项目(IRT13057)
收稿日期:2017-06-10；修改日期:2018-04-04
文章编号:1000-4750(2018)10-0047-09
doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2017.06.0453
文献标志码:A
中图分类号:TU352.1+1