表1 钢筋混凝土梁几何参数
Table 1 Physical parameters of the tested RC beams
金 浏，苏 晓，杜修力
(北京工业大学城市减灾与防灾防护教育部重点实验室，北京 100124)
摘要:钢筋混凝土构件破坏的尺寸效应取决于混凝土材料的非均质性以及钢筋/混凝土相互作用。该文借助混凝土细观结构特征，基于非线性弹簧单元来描述钢筋与混凝土之间的相互作用，建立了钢筋混凝土梁破坏行为模拟的三维细观数值模型。在模拟结果与试验结果吻合良好的基础上，拓展模拟了更大尺寸梁的弯曲大变形破坏行为，并分析了单调及循环加载模式对不同尺寸悬臂梁受弯破坏及名义抗弯强度影响规律。模拟结果分析表明:1)该文工况下钢筋混凝土悬臂梁的弯曲破坏存在尺寸效应，弯曲强度随梁深增大而减小；2)循环加载下，混凝土、钢筋以及两者间的粘结性能由于低周疲劳而使得梁的弯曲破坏呈现出脆性特征；3)相比于单调加载，循环加载条件下，悬臂梁的破坏具有更强的脆性，名义抗弯强度尺寸效应更明显。
关键词:钢筋混凝土梁；受弯破坏；单调加载；循环加载；尺寸效应；三维细观模型
混凝土是典型的准脆性材料，其破坏行为具有明显的尺寸效应现象[1―2]。钢筋混凝土构件，由混凝土和钢筋所组成，其力学性能及破坏机理是工程结构设计与仿真的前提基础。
受弯破坏是钢筋混凝土梁主要失效模式之一，因而一直受到广泛关注。为了探究梁的抗弯性能尺寸效应，大量学者对抗弯强度尺寸效应进行了试验分析，但得到不同的结论。如:Ožbolt等[3]进行了最大截面尺寸为 200 mm×400 mm的两组钢筋混凝土简支梁的四点弯曲试验，发现抗弯强度不存在尺寸效应。此外，车轶等[4―5]、Carpinteri等[6]和Alce等[7]研究发现梁的抗弯强度不存在尺寸效应。Weiss等[8]进行了不同强度混凝土以及不同配筋率的钢筋混凝土梁的试验，发现抗弯承载力不具有尺寸效应，但梁的延性会随梁尺寸的增大而降低。不同的是，William和Mario[9]对132组包含5种不同尺寸的钢筋混凝土梁缩尺模型的抗弯强度进行了试验研究，发现抗弯强度存在尺寸效应现象。另外，Şener等[10]、Rao 等[11]、Bosco[12]、Yi[13―14]、以及 Kim等[15]的试验研究亦证实了梁弯压强度尺寸效应的存在性。Belgin和 Şener[16]关于超筋梁的四点弯曲试验结果表明:由于超筋梁中混凝土压碎先于钢筋屈服，故属于受压破坏行为，展现出强烈的尺寸效应行为。近来，周宏宇等[17]对钢筋混凝土梁受弯破坏机理及其尺寸效应进行了探讨，发现尺寸效应的影响主要体现在钢筋屈服阶段和混凝土被压碎阶段。总体来说，目前对于钢筋混凝土梁抗弯破坏尺寸效应方面的认识依然不统一，缺乏深入讨论。此外，目前国内外已有的试验及数值模拟工作主要集中于讨论单轴加载下钢筋混凝土梁抗弯破坏的尺寸效应行为，而对循环加载作用下梁的抗弯破坏行为研究则较为少见。
不同于单轴加载行为，在地震作用下，钢筋混凝土梁在往复加载作用下，由于低周疲劳而使得梁的破坏可能呈现出脆性破坏特征。这种由于低周疲劳而出现的脆性破坏可能使得钢筋混凝土梁的抗弯强度存在明显的尺寸效应现象。近来，金浏等[18]对钢筋混凝土悬臂梁在单调及循环往复作用下的抗弯破坏行为进行了试验研究。其试验结果表明:单调加载下，梁端部受拉侧产生大量深裂纹，并向内部贯穿；而低周循环往复作用下，梁端产生累积压缩破坏，钢筋混凝土悬臂梁的破坏由于低周疲劳呈现更为脆性的破坏特征(端部弯压破坏)，因此其抗弯强度具有更为显著的尺寸效应。
由于试验设备及经济条件限制，无法进行大批量的大尺寸钢筋混凝土构件试验，数值研究已成为研究混凝土和混凝土结构的断裂机理和尺寸效应的有效途径[19－20]。钢筋混凝土构件尺寸效应行为非常复杂，影响因素很多。但总体来说，构件层面尺寸效应来源主要归因于以下两个原因[20]:1)混凝土本身的非均质性和非线性；2)钢和混凝土之间复杂的非线性相互作用。因此，合理的钢筋混凝土构件数值分析模型应能反映该两方面的全部“特征”。
正如Bažant[21]所陈述，能精准描述混凝土材料细观结构形式的细观尺度数值分析方法是模拟混凝土及钢筋混凝土构件尺寸效应最好的方法。在细观力学模拟方面，Rios和 Riera[22]基于二维离散元模型，考虑混凝土细观结构形式，数值模拟了钢筋混凝土梁名义强度的尺寸效应行为。Wang等[23]基于二维细观尺度分析方法(RBSM 法)模拟了钢筋混凝土梁的破坏行为。近来，李冬等[24]考虑钢筋/混凝土界面的粘结-滑移行为，将二维模型扩展至三维，建立了钢筋混凝土柱的三维细观尺度分析模型，进而研究了长细比效应对柱破坏行为的影响机制。
本文旨在探讨加载形式(单调和循环加载)对尺寸效应的影响规律及机制。鉴于此，建立了能反映钢筋-混凝土相互作用的三维细观数值模型，并在验证模型合理性的基础上进行了更大尺寸的钢筋混凝土梁弯曲破坏尺寸效应的数值分析，研究加载方式对梁抗弯强度尺寸效应的影响，揭示梁弯曲破坏的尺寸效应规律。需要说明的是，本文中暂不考虑混凝土材料尺寸效应对构件尺寸效应的影响，即采用的混凝土级配相同(最大骨料粒径等均相同)。
文献[18]开展了不同结构尺寸下钢筋混凝土悬臂梁弯曲破坏的物理试验，分析了梁在地震循环往复加载下的抗弯破坏行为，并给出了名义抗弯强度的尺寸效应规律。结合文献[18]中的梁破坏试验，建立对应的三维细观钢筋混凝土梁数值模型，五组不同尺寸梁的相关参数，包括梁的尺寸、配筋率ρ、配箍率ρsv及剪跨比λ等如表1所示。
表1中，C代表Cyclic loading(循环加载)，M代表 Monotonic loading(单调加载)，B代表Beam(梁)，数字代表相应尺寸的构件。试验采用的混凝土抗压强度伪42.8 MPa，劈拉强度为2.3 MPa；纵筋采用 HRB335级钢筋，其平均屈服强度为405 MPa；箍筋采用 HPB235级钢筋，平均屈服强度为298 MPa，箍筋率为0.14%。
表1 钢筋混凝土梁几何参数
Table 1 Physical parameters of the tested RC beams
混凝土通常被视为三相非均质复合材料，包括骨料、砂浆及界面过渡区(ITZ)[22,24―25]。同文献[26]，将骨料理想化为球体，骨料颗粒尺寸按照Fuller曲线[26]进行布置，进而采用经典的“取-放”方法[26―27]，将骨料(最大粒径30 mm)随机放入砂浆基质中。将骨料颗粒周围薄层作为界面相(实体单元)，厚度设定为1 mm[20]。然后将钢筋笼插入，形成如图1所示的钢筋混凝土梁三维细观数值分析模型(试件尺寸为:240mm×600 mm×2510 mm)。混凝土各细观组成采用八节点六面体减缩积分单元进行划分，钢筋采用梁单元进行离散，网格单元平均尺寸为5 mm。如:对于CB-5梁试件，约划分为1300万个单元，基于并行计算机计算，所需计算时间约为20 h。
骨料由于其较高的拉/压强度，一般不会产生破坏，将其设为弹性。对于砂浆基质及界面相，采用Lubliner等[28]提出并由Lee和Fenves[29]发展的弹塑性损伤模型用来描述其力学行为。该本构关系模型中，假定混凝土的破坏分为拉伸开裂和压碎两种，由各向同性的损伤变量来表征混凝土的拉伸断裂和压缩破坏导致的刚度退化，其表达式可表示为:
式中:D表示各向同性损伤变量；
表示初始无损伤的各向同性线弹性张量；εpl表示塑性应变张量。混凝土材料的刚度退化由两个独立的单轴损伤变量来描述，即拉伸损伤因子ωt和压缩损伤因子ωc，那么材料在单轴拉伸和压缩条件下的应力-应变关系分别为:
式中:E0为无损材料初始切线模量；εt和εc分别为拉伸和压缩应变；
分别为拉伸和压缩等效塑性应变。关于该本构关系及损伤描述等，可参考文献[28―29]。
需要说明的是，本文在材料达到其强度后采用“应力-位移”形式的塑性损伤本构模型来替代常见的“应力-应变”关系曲线，使得单元的断裂能具有唯一性。该处理方法可有效地减缓网格敏感性带来的网格尺寸效应问题。参考文献[30]，钢筋采用理想弹塑性本构模型来描述其力学行为。
三种细观组分以及钢筋材料的主要力学参数，包括单轴拉伸强度σt、压缩强度σc、弹性模量E、泊松比ν及剪胀角ψ等见表2。骨料和砂浆基体的力学参数为实测参数(*)。界面的力学参数(^)无法通过试验测得，其(特别是强度和弹性模量)可看作为弱化了的砂浆力学参数。这里，通过开展大量的混凝土试块单轴压缩及劈拉试验来反演确定界面力学参数。反复试算采用的混凝土试块尺寸为标准立方体试件，边长为150 mm。如表2所示，基于该组参数模拟得到的混凝土单轴抗压强度是42.6 MPa(与试验值42.8 MPa基本吻合)。鉴于此，可以认为对界面ITZ所选取的力学参数是合理的。
本文通过非线性弹簧单元来描述钢筋与混凝土之间的非线性粘结滑移行为，即采用《混凝土结构设计规范》[31]推荐的钢筋-混凝土粘结滑移(τ-s)本构关系模型，如图2所示。依据规范[31]，图2中各关键点(转折点)的确定问题见表3。这里需要说明的是，模型中钢筋与混凝土之间的粘结行为是一种宏观均匀特性，也即是没有考虑各细观组分与钢筋之间的粘结性能。
图1 钢筋混凝土梁三维细观数值模型
Fig.1 3D meso-scale simulation model of RC beam
表2 细观成分及钢筋的力学参数
Table 2 Mechanical parameters of the meso-components of concrete and reinforcing bars utilized
表3 粘结-滑移本构模型中参数
Table 3 Parameters utilized in the bond-slip model
正如图1所示，在梁的底端施加固定边界，梁的侧面顶部区域施加荷载P(包括单调及循环加载情况，这里采用强制位移)。下文将针对单调及循环加载下不同尺寸钢筋混凝土梁的弯曲破坏行为进行数值研究，探究弯曲破坏的尺寸效应规律。
图2 钢筋混凝土粘结应力-滑移模型
Fig.2 The stress-slip model between steel and concrete
为验证提出的钢筋混凝土构件细观数值模型分析梁抗弯强度尺寸效应的合理性和可靠性，对金浏等[18]开展的钢筋混凝土悬臂梁弯曲破坏试验进行数值模拟分析。
以梁 CB-4(梁深为 800 mm)为例，研究细观尺度下梁内部的细观裂缝发展过程和破坏模式。如图3所示(损伤因子ω=0表示完好无损，ω=1表示完全破坏)，在加载初期，在弯曲作用下在梁的底部边缘产生初始弯拉裂缝，随着荷载增加，裂缝沿水平方继续向梁内部发展，同时水平裂缝分布向上发展；随着荷载持续增大达到屈服抗弯承载力时，底部区域的纵筋屈服，悬臂梁形成塑性铰区域。最后，在循环往复荷载作用下，梁底部混凝土在拉伸/压缩反复交替作用下形成碎片而剥落。
图3 钢筋混凝土悬臂梁CB-4内部损伤破坏过程
Fig.3 The damage process of the RC cantilever beam CB-4
单调及循环往复作用下，五组不同尺寸悬臂梁的最终破坏形态如图4所示。从图4(a)可以看到，循环加载下五组悬臂梁的破坏形态基本相同，在悬臂梁表面被若干裂缝分割，底部混凝土达到极限压应变。图4(b)表明:单调荷载作用下，受拉侧产生明显的水平裂缝，而受压侧压应变未达到破坏，底部混凝土损伤较小，受拉钢筋的屈服导致了构件的最终破坏。另外，从图4可以看出，模拟获得的梁端部破坏模式与试验结果吻合良好。
图5给出的是两种加载方式下的弯矩-位移(m-Δ)骨架曲线模拟值与试验值的对比。图5中，T表示试验结果，S表示数值模拟结果。可以看出:在弹性阶段，模拟结果与试验结果吻合较好；屈服阶段弯矩M的与试验值有些许差别，下降段有些偏差，极限弯矩M与试验值亦略有差别。五组几何相似结构尺寸不同的钢筋混凝土梁中，结果偏差最大的为MB-1试件:试验获得的最大弯矩为23.35 kN·m，模拟为 21.57 kN·m，误差为 7.5%。其余试件模拟结果与试验结果误差均小于5.0%。
图4 不同加载条件下五组梁的最终破坏图及与试验对比
Fig.4 The failure pattern of numerical result under different loading
对比图5(a)和图5(b)可知:相比于单调加载情况，循环加载下混凝土、钢筋以及两者间的粘结性能由于低周疲劳而使得梁的弯曲破坏呈现出更强的脆性特征。图6为单调加载下拉应变ε发展过程对比情况，试验与模拟结果基本一致。初始阶段，构件处于弹性阶段，随着荷载增大，钢筋应变呈线性增长，达到屈服强度后，钢筋应变迅速增长。
综上所述，本文所采用的数值模型无论是在破坏模式还是在承载力等方面均能够较好地与试验吻合，说明该数值模型的是准确性和适用性。
本节在上述三维数值模型的基础上，扩展建立了3组更大尺寸的几何相似的钢筋混凝土梁细观数值模型，三组梁的深度分别为:1200 mm、1600 mm及2000 mm。三组悬臂梁的参数详见表4。
图7为三组更大尺寸构件在不同加载条件下的破坏模式以及钢筋网的Mises等效应力分布云图。发现两种加载条件下破坏模式与小尺寸构件类似，水平裂缝在受拉侧产生，并随荷载的增加水平裂缝逐渐向上发展，同时裂缝宽度也逐渐增加，构件水平位移也逐渐增大，混凝土应变增大。同时可以发现，循环荷载作用下的构件产生的裂缝多且密集，既循环荷载下梁的损伤大。另外，大尺寸构件破坏时，水平裂缝斜向发展形成明显的斜向裂缝，呈现出弯-剪破坏特征。
图5 骨架曲线模拟结果与试验结果的对比
Fig.5 Comparison of skeleton curves obtained by numerical and experimental result
图6 固定端截面纵筋拉应变试验与模拟对比
Fig.6 Simulated and tested tensile strains of the longitudinal bars at the fixed bottom
表4 大尺寸钢筋混凝土梁几何参数
Table 4 Physical parameters of the big size RC beams
另外，图7还给出了单调及循环加载下梁(梁深度为2000 mm)中钢筋网的Mises应力云图。可以看到，无论循环或单调加载下，钢筋网的端部区域产生了屈服(达到屈服强度405 MPa)。
图7 更大尺寸梁在不同荷载作用下的破坏
Fig. 7 Failure patterns of larger-sized RC beams subjected to different types of loading
图8 为三组大尺寸构件在不同加载下的抗弯承载力骨架曲线，由两种加载模式下的承载力曲线形式可知，弹性阶段曲线斜率高，梁的位移较小，力增加较快；进入开裂阶段，混凝土开始开裂，但钢筋未发生屈服，此时斜率降低，但承载力还在增加；进入屈服阶段，梁的水平位移快速增加，但力增加缓慢，梁的延性较高；最后由于构件破坏产生较大位移，曲线下降，但曲线不是突然下降，既构件没有发生突然的脆性破坏。由于循环荷载导致构件内部的损伤的积累，循环荷载作用下承载力要低于单调加载下的梁的承载力，且循环荷载作用下，曲线的屈服段较短，说循环加载下构件的延性较差。
图8 大尺寸构件在不同荷载作用下的骨架曲线
Fig.8 The skeleton curve of larger-sized RC beams under cyclic and monotonic loading
采用名义弯曲强度来考察构件截面高度对抗弯承载力的影响，名义弯曲强度σNu为:
式中:Pmax为加载点的最大作用力；l为梁长度；b和h0分别为梁宽和梁有效截面高度。
图9为梁名义抗弯强度在不同加载条件下随构件尺寸增加的变化趋势。一般来说，在单调加载情况下，钢筋混凝土梁的抗弯性能由于纵筋的承载作用常常表现出较强的延性，使得其不具有明显的尺寸效应。但从图9所示的不同加载条件下的名义抗弯强度随尺寸变化趋势来看，本文所计算的8组构件名义抗弯强度均随构件尺寸的增加而降低，即本文工况下获得的名义抗弯强度具有尺寸效应。此外，大尺寸构件的抗弯强度降低趋势减缓，说明大尺寸构件的尺寸效应具有减弱的趋势。
图9 梁名义弯曲强度与结构尺寸关系
Fig.9 Relationship between nominal strength and structure size
实际上，构件破坏时脆性越大，尺寸效应越明显，而不同的加载方式会导致梁破坏时脆性的不同。从图9中可知，在单调加载条件下，梁的名义抗弯强度比在循环加载条件下名义抗弯强度高。实际上，这是由于循环加载增加梁内部的损伤，混凝土材料、钢筋以及两者间粘结性能由于低周疲劳作用导致了梁的抗弯强度以及延性性能的降低。本质上，这是低周疲劳荷载特性所造成的。
在混凝土材料尺寸效应理论研究方面，研究者主要提出了5种尺寸效应理论[32―33]:统计尺寸效应理论、断裂力学尺寸效应理论、多重分形尺寸效应理论、边界尺寸效应理论及全局(统一)尺寸效应理论。其中，Bažant根据断裂力学理论提出了适合混凝土材料的尺寸效应理论公式[20]:
式中:σNu为梁的名义弯曲强度；D为梁的特征尺寸(这里即为梁深)；B、D0为通过回归分析得到的两个经验系数；
为混凝土劈拉强度。
大量的试验研究工作[34―39]表明:Bažant尺寸效应律不仅可以很好地描述混凝土材料层次破坏的尺寸效应，还可以较好地描述钢筋混凝土构件层次破坏的尺寸效应规律。鉴于此，本文尝试探讨Bažant尺寸效应律是否可以描述钢筋混凝土梁弯曲破坏的尺寸效应规律。
对式(4)重新整理得到:
将式(5)改写为线性方程形式:
其中:
首先通过对试验数据的进行回归分析后获得相应参数A和C的数值。然后，再根据Bažant尺寸效应(size effect law，SEL)规律分析，得到如图10所示的不同加载模式下钢筋混凝土悬臂梁名义强度随构件尺寸变化的双对数曲线。此外，还将本文数值模拟结果与LEFM(线弹性断裂力学理论，针对于纯脆性材料，斜率为-1/2直线)以及 Strength Criterion(强度准则，针对于不考虑尺寸效应的塑性材料)结果进行对比。
图10 名义强度随构件尺寸变化的对数曲线
Fig.10 Logarithmic curve of nominal strength vs. structure size
从图10可以看出，本文获得的不同加载条件下的抗弯强度尺寸效应规律与 Bažant尺寸效应律基本吻合(相关系数R2=0.975)，说明无论在单调还是在循环加载条下，本文工况下钢筋混凝土悬臂梁的名义抗弯强度存在尺寸效应行为。
从图10还可知，循环加载条件下数据点比单调加载下更接近准脆性的曲线，既尺寸效应更加明显。实际上，循环加载下，混凝土、钢筋以及两者间的粘结性能由于低周疲劳而使得梁的弯曲破坏呈现出脆性特征，因而表现出更为明显的尺寸效应行为。
在考虑混凝土内部组成的非均质性及钢筋与混凝土间的非线性粘结-滑移行为的基础上，建立了钢筋混凝土梁破坏行为研究的三维细观尺度数值分析模型。首先通过与已有试验结果对比来验证数值方法合理性和可靠性，进而在此基础上拓展模拟了更大尺寸(最大梁深为 2000 mm)钢筋混凝土悬臂梁的受弯大变形破坏行为。此外，探讨了加载形式，即单调加载和循环加载对钢筋混凝土梁受弯破坏行为及尺寸效应的影响。得到如下结论:
(1)建立的三维细观数值模型能很好地描述不同尺寸钢筋混凝土梁的弯曲破坏行为及尺寸效应特征。
(2)本文工况下钢筋混凝土梁的弯曲破坏存在尺寸效应，弯曲强度随梁深增大而减小；另外，模拟获得的名义抗弯强度与 Bažant提出的尺寸效应规律一致。
(3)随着结构尺寸增大，梁的名义弯曲强度降低趋势减缓，具有尺寸效应特征。
(4)相比于单调加载，循环加载条件下，悬臂梁的破坏具有更强的脆性，名义抗弯强度尺寸效应更明显。
值得说明的是，Bažant尺寸效应律，是Bažant根据断裂力学理论推导获得的适用于素混凝土材料的尺寸效应律。对于钢筋混凝土构件而言，除了包含混凝土材料层面的尺寸效应外，还包含了钢筋引入而带来的钢筋混凝土间复杂非线性相互作用问题。该复杂的非线性相互作用，使得钢筋混凝土梁层面的尺寸效应非常复杂。本质上来说，Bazant尺寸效应律难以全面地把握钢筋混凝土梁的尺寸效应行为。因此，对于钢筋混凝土梁的尺寸效应行为，仍需进行广泛而深入的研究。
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MESO-SCALE SIMULATIONS ON FLEXURAL FAILURE AND SIZE EFFECT OF REINFORCED CONCRETE BEAMS
JIN Liu , SU Xiao , DU Xiu-li
(The key laboratory of Urban Security and Disaster Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)
Abstract:The sources of size effect on RC members are the heterogeneity of concrete material and the interaction between steel and concrete. From the view of microcosmic, a three-dimensional micromechanical model for reinforced concrete beams was set up. In the model, the concrete heterogeneity was considered, and the interactions between steel and concrete was described by a nonlinear spring element. Base on the well agreement between simulation results and experimental results, the failure behavior of large beams was studied, meanwhile,the change of failure pattern and flexural strength of different size beams under monotonic and cyclic loading were analyzed. The simulation results show that: 1)in the working condition of this article, the flexural of RC cantilever beams have the size effect, and the flexural strength decreases with the increase of depth of the beam;2)under cyclic loading, the bending beam is brittle because of the fatigue of the bonding performance between concrete and steel; 3)compared to monotonic loading, the cantilever beam damage is more brittle and the size effect of nominal flexural strength is more obvious under a cyclic loading condition.
Key words:RC beam; flexural failure; monotonic loading; cyclic loading; size effect; 3D meso-scale model
苏 晓(1990―)，男，山东人，硕士生，主要从事混凝土结构尺寸效应方面研究(Email: suxiao91@163.com).
金 浏(1985―)，男，江苏人，教授，博士，博导，主要从事混凝土及混凝土结构领域研究(Email: jinliu@bjut.edu.cn);
作者简介:
通讯作者:杜修力(1962―)，男，四川人，教授，博士，博导，主要从事地震工程领域研究(Email: duxiuli@bjut.edu.cn).
基金项目:国家重点研发计划项目(2016YFC0701100)；国家自然科学基金创新研究群体项目(51421005)
收稿日期:2017-06-06；修改日期:2017-09-22
文章编号:1000-4750(2018)10-0027-10
doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2017.06.0436
文献标志码:A
中图分类号:TU375.1