潘天林1,2，吴 斌2,3
(1．东北电力大学建筑工程学院，吉林 132012；2．哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨 150090；3．武汉理工大学土木与建筑学院，武汉430070)
摘要:基于能量平衡理论，提出针对桁架单元的能量一致积分方法。该方法具有非线性无条件稳定性，2阶精度。利用中值定理证明算法参数的存在性，并给出参数的求解形式。对离散后的动力方程线性化得到用于迭代的等效刚度矩阵。实现新算法在非线性有限元程序中的嵌入，并以此为基础完成单摆、输电塔体结构的非线性动力分析。数值结果表明，经典的平均加速度方法与隐式中点方法均会表现出能量不一致现象，甚至会产生发散结果；相比而言，该文方法在不同的时间步长情况下都表现出良好的数值稳定性。
关键词:工程力学；时间积分算法；能量一致；无条件稳定性；平均加速度方法；桁架单元
时间积分方法是求解动力方程的有效工具。经典的时间积分方法主要可以分为两大类:显式方法与隐式方法。显式方法的特点是不需要迭代进行求解，如果质量矩阵为对角阵，还可以逐点求解不需要组装整体节点力方程，节省存储空间。常用的这类方法主要有中心差分方法，显式 Newmark-β方法。但是这类方法的时间步长受到稳定条件的制约，步长太小又会增加计算量。为摆脱稳定条件对时间步长的制约，Chang[1]提出了一种线性无条件稳定的显式积分方法，而且方法在误差控制方面要明显好于前两种方法。然而方法的缺陷是不能够应用在奇异质量矩阵。Chen等[2―3]也做了相似的工作，提出了一种无条件稳定的显式方法。其研究表明，对于线弹性结构和刚度软化形结构，算法是无条件稳定的，但是对于刚度硬化结构是有条件稳定的。此外，还有一些显式方法是来自于隐式方法的显式处理，这些方法主要有OS方法[4]，α-OS方法等[5]。
相比而言，隐式积分方法具有线性无条件稳定，精度高，被广泛地应用到结构动力计算中。隐式方法的特点是需要采用迭代方法完成离散方程的求解，积分步长不受稳定条件限制。一般来说，可以在这些方法中以参数的形式引入数值阻尼，以略去因为空间离散而引入的虚假高频反应。另一方面，引入算法的数值阻尼也有助于离散方程的迭代求解。该类方法主要有 Newmark-β方法[6―7]，HHT-α方法[8―9]，WBZ-α方法[10]以及 G-α方法[11―14]等。
上述时间积分方法的数值稳定性只是针对线性情况而言，对于非线性情况，算法会发散。以往对于线性稳定分析有效的谱方法不再试用。关于算法的非线性稳定性研究，不同领域的研究思路各不相同。在计算数学领域，隐式龙格-库塔方法族为例，Butcher等[15]对方法在非线性耗散系统的数值稳定进行研究，研究表明，该方法族具有B稳定性，也就是无条件稳定。隐式中点方法就是该方法族的代表性方法。然而这些结论还很难应用到工程动力计算中，原因是工程结构很难满足耗散系统的数学定义。经典时间积分方法的发散常伴随着能量的不平衡和发散现象。针对这一现象，在计算力学领域，Simo等[16]从能量平衡的角度证明了广义中点方法对于一维弹塑性本构模型为无条件稳定。Li等[17]和潘天林等[18]针对恢复力有界(如软化 Bouc-Wen模型)和具有软化指数阻尼特征(阻尼指数在 0～1之间)的结构进行了研究，发现平均加速度法和隐式中点法是无条件稳定的；利用这些结论可以证明平均加速度法和隐式中点法对具有双线性弹塑性模型的结构也是无条件稳定的。
能量平衡不仅可以用于判定已有算法的数值稳定，也可以用于构造无条件稳定的算法。在此研究领域，一些学者提出了确保能量平衡的方法，这里称之为能量一致积分方法。Labudde与Greenspan[19]最早对单个质点及质点系在保守力作用下的动力计算进行研究，提出了能够保证质点系能量守恒的算法。后来，Hughes等[20]在平均加速度方法的基础上引入能量约束条件，从而保证方法的能量平衡。Kuhl和 Ramm将[21]约束中增加动量守恒，并将方法应用到壳结构的动力分析中。虽然这种约束在理论上满足能量平衡，但求解过程中存在多解的情况[22]。针对超弹性材料的动力分析，Simo等[23]在隐式中点方法基础上进行修正，通过在材料积分点上引入算法参数以确保离散系统的能量平衡。Romero[24]通过理论分析发现Simo所提出的方法简单且容易实现。Noels等[25]在此基础上，考虑弹塑性本构模型，提出相应的能量一致方法。后来，这种方法又与具体的单元形式相结合，如基于铁木辛柯梁单元的能量积分方法[26―27]。
对于大位移小变形杆系单元，Crisfield等[28―29]构造了相应的算法格式，考虑了几何非线性。潘天林等[30－31]将该方法嵌入有限元程序，并探讨其在工程结构动力分析中的应用。实质上，Crisfield提出的杆系单元的能量一致积分方法可以看作是已有方法(中点方法，平均加速度方法)的一种线性修正。这类方法能够满足无条件稳定性，但却是有条件的2阶精度。只有采用非线性对称修正才能够具有 2阶精度。就这一点，Simo的方法可以看作是非线性修正格式在超弹性材料动力分析中的一种应用。本文在此非线性对称修正格式的基础上，提出基于桁架单元的能量一致积分方法。讨论算法参数解的存在性。完成基于杆系单元的有限元编程，并通过数值算例验证本文方法的有效性。
对于桁架单元，连续的动力方程可以表示为:
其中，m为对角阵，对角元素为:
节点质量mP=mQ=L0A0ρ0/2，L0、A0与ρ0分别表示单元的初始长度、初始截面面积与体积密度，下标 P、Q为单元的两个节点，见图1。速度向量v、节点力r与外荷载f分别表示为:
式(5)中:N表示单元的轴力；e1表示桁架单元的轴向单位向量:
其中:x=xQ-xP表示节点坐标向量差，xP与xQ表示P、Q两点的坐标向量；L表示单元的长度。如果e1始终为初始构型的单位方向向量，那么，式(1)就简化为考虑几何线性的动力方程；如果e1由运动过程中的节点坐标确定，那么，式(1)就是考虑几何非线性动力方程。这里所说的几何非线性指的是大位移小变形情况。
图1 桁架单元
Fig.1 Truss element
桁架单元的节点力-位移关系包含双重非线性，即几何非线性与材料非线性。几何非线性与单位方向向量e1相关，材料非线性由轴向本构体现。按照文献对称非线性修正格式，分别对这两项非线性相关量进行离散。对e1离散得到:
对轴力离散得到:
基于此，对连续动力方程式(1)的离散形式为:
第3式、4式分别为关于1β与2β的非线性代数方程，可借助于牛顿迭代求解。无论是几何非线性还是材料非线性，或者耦合非线性，这种方法均能保证算法的能量一致，即保证非线性数值稳定。
1)变量β1
如果将第3式写成:
那么其牛顿迭代求解的格式为:
式中:k表示第k次迭代；g′(β1)为:
其中:
式(10)解的存在性可通过中值定理证明，下面给出证明过程。
工程应变的定义:
式中，u代表桁架的轴向位移。对式(14)进行时间求导可得:
对式(15)进行积分，同时考虑到
vPQ=vQ-vP，整理后得到:
其中，e1为uPQ的函数，即:
自变量uPQ的变化范围为 [uPQ,n,uPQ,n+1]。通过引入变量β1∈ [ 0,1]可以给出uPQ的两种替代形式分别为:
如果分别将式(18)与式(19)代入式(17)，整理得:
其中，ΔuPQ=uPQ,n+1-uPQ,n。将式(20)、式(21)代入等式(16)右边，并考虑到
，整理后有:
由中值定理，
，使得:
成立。也就是说，式(10)的解存在。
2)变量β2
将A0σ=N代入式(9)第4分式，整理得到关于2β的标量代数方程:
式(24)对2β的求导有:
其中，
分别表示n+β2、n+1-β2时刻的材料刚度。β2的存在性可由中值定理证明，过程如下。
若证明式(24)存在一个解，需要将应力功增量
进行变换。这里应力σ为 应变ε的函数，以变量2β表示应变的变化，有两种表达形式:
其中，Δε=εn+1-εn，参数2β变化范围为[0,1]，将式(26)与式(27)代入
根据中值定理一定存在一个
，使得:
成立。这样就证明了式(24)解的存在性。
由于非线性修正方法为隐式方法，所以整体节点力方程的求解需要借助牛顿迭代完成。下面给出迭代所需要的等效刚度矩阵推导过程。等效刚度矩阵由两部分组成，质量相关项kine与内力相关项kint。离散后的惯性力项对位移的求导得到:
内力项由两部分组成，分别对这个两部分进行变分，有:
下面分别对δNβ2与δe1,β1进行展开。
轴力的变分为:
式中:
式(32)用到的应变的变分再展开:
式(33)和式(34)中δuPQ,n+β2、δuPQ,n+1-β2可表示为:
单位方向向量的变分:
其中:
令A为整体刚度矩阵子矩阵:
节点力对应的整体刚度矩阵可以写成:
等效刚度矩阵可以表示为:
2.1.1 线弹性
单摆运动是一个几何非线性比较突出的一个算例，经常被用于验证时间积分算法的数值稳定性[32]。这里采用单摆运动作为分析算例，一方面验证上面桁架单元非线性程序的正确性，另一方面对平均加速度方法、隐式中点方法和能量一致积分方法进行比较分析。单摆的初始长度L0=3.0443 m，端部集中质量m=10 kg。重力加速度9.8 m/s2。单摆的截面刚度采用两种方案，一种方案刚体单摆，EA0=1010N；另一种弹性单摆，EA0=106N。初始位置竖向放置，底部端点有水平初始速度v0=5 m/s。
从图2(a)可以看到，3种积分方法的转角时程曲线基本一致。为了观察各个积分算法在能量时程的差别，有限元程序输出了计算过程中的总能量。这里的总能量是由单摆的变形能与动能相加再减去重力做功得到。能量的单位采用焦耳(J)，J=N·m。
从图2(b)中的能量时程曲线可以看出，隐式中点方法的能量逐渐累加，平均加速度方法的总能量出现波动，而能量一致积分方法能量保持恒定不变。随着时间积分步长的增加，各种方法关于转角、能量时程的差别逐渐明显。
本文方法属于非线性修正形式的能量一致积分方法，其精度与其它两种方法均为2阶精度，证明过程可见文献[30]。时间积分步长从 0.01 s～0.05 s，对比1 s处不同方法的转角绝对误差，见图4。参考值选取1 ms积分步长计算结果。从图中可以看出，随着积分步长的增长，3种方法误差呈现增大趋势。平均加速度方法的误差最明显，隐式中点方法次之，本文方法误差相对较小。
图2Δt=0.01 s
Fig.2Δt=0.01 s
图3Δt=0.05 s
Fig.3Δt=0.05 s
图4 旋转误差
Fig.4 Rotation error
3种时间积分方法在不同时间积分步长下的计算时间和方程迭代次数列于表1和表2。平均加速度方法与中点方法均有不同程度上的发散结果。对比表1中有效的计算结果，较其它两种方法，本文方法耗时略多，原因是需要进行参数β1与β2的计算。从迭代次数来看，本文方法迭代次数也稍微增加，但是增幅很小且一直能够保证算法数值稳定。
表1 计算时间/s
Table 1 Computation time
注:F表示结果中有发散现象。
表2 迭代次数
Table 2 Iteration times
注:F表示结果中有发散现象。
在第 2种方案中，只改变截面的刚度EA0=106N。通过减小截面刚度，系统的最高频率会有所降低。时间增量步长仍然采用Δt=0.05 s，对比图3与图5中平均加速度方法与隐式中点方法的计算结果，不难发现系统的最高频率会对平均加速度方法和隐式中点方法的稳定性产生影响。频率越高，这两种经典积分方法应用到考虑几何非线性的桁架单元时就越容易出现发散现象。随着时间步长的增大，隐式中点方法和平均加速度方法都会给出不稳定的计算结果。从图3与图5可以看出，由非线性修正方法计算得到的位移结果始终是稳定的，系统的总能量保持为恒定值。
图5Δt=0.05 s
Fig.5Δt=0.05 s
从图3(a)可以看到，隐式中点方法的计算结果在1.5 s左右出现高频振荡，平均加速度方法的结果在4.5 s附近也出现了高频振荡，而能量一致积分方法的结果仍然呈现稳定的运动轨迹。方法对应的能量时程曲线也表明，出现高频振荡的两种积分方法均出现能量增加现象，见图3(b)所示。
图6给出了2阶能量算法在Δt=0.25 s工况中单位方向向量的修正系数β1。与图7转角图对比分析可以看出，在转角峰值附近，β1取值趋近于 0，这说明峰值附近，如果采用单位方向的平均值，即
可以满足能量平衡；在转角反应的零点附近，β1数值最大，在0.2左右，相应的单位方向向量也进行调整以满足能量守恒的需求。
2.1.2 弹塑性
仍然采用单摆作为分析对象，单摆的长度不变，截面A0=5 cm2。以随动强化模型作为材料本构模型，弹性模量E=2×105MPa，硬化模量H=2×103MPa，屈服应力235 MPa。为使单摆的轴向塑性变形易于观察，本节取端部的集中端部质量为M=5 t。自由端的水平初速度为7 m/s。分析时间步长Δt=0.02 s。算例中内力功由应力功与杆的初始体积乘积获得。下面给出3种不同积分方法的分析结果，见图8～图11。
图6Δt=0.25s
Fig.6Δt=0.25s
图7 变量β1(Δt=0.25 s)
Fig.7 Variableβ1(Δt=0.25 s)
从图8可以看出，在相同初始边界条件下，3种方法均在0～0.06 m处有一个较大的伸长变形。变形中包含较大的塑性变形，这也可以从图9看出。由于初始阶段的塑性耗能，后续的反应以弹性变形为主。在整个反应过程中，隐式中点方法幅值最大，2阶能量方法的反应幅值最小。这里将系统的动能与内力功之和作为总能量，反应结果总能量时程曲线可见图10。中点方法与平均加速度方法在发生塑性变形的 0 s～0.2 s，均表现出较大的能量波动，之后的弹性反应阶段，波动较小。相应地，2阶能量积分方法表现出较好的能量守恒特性。由于中点方法的前期(0 s～0.2 s)反应较大，所以相应的计算代价较高，见图11。
图8 单摆轴向位移
Fig.8 Axial displacement of pendulum
图9 应力-应变关系
Fig.9 Relation between strain and stress
图10 总能量
Fig.10 Total energy
图11 迭代
Fig.11 Iteration
输电塔模型是常见的，以杆系构件为主的工程结构。本算例为一个塔体模型，其几何形状及部分参数可参考图12。塔体模型由16个结点，29个平面桁架单元组成。采用两种截面尺寸，见图例。弹性模量为2.0×105MPa，密度为7800 kg/m3。不考虑塔体自重，角点A存在一个初始的水平速度50 m/s。分别采用平均加速度方法、本文方法进行动力响应分析。采用牛顿迭代方法进行代数方程求解，以迭代位移增量判定收敛，
从图13可以看出，当时长取0.01 s，平均加速度方法能量出现明显的波动，但未表现出发散，当增量增加至0.015 s时，能量随时间逐渐增加。相比而言，本文方法能量始终保持恒定值。取塔底部第1个单元的应力时程，见图14。应力时程曲线中后期有明显的高频响应参与，平均加速度方法的结果逐渐增大，本文方法并没有表现出增大的趋势。从位移时程(见图15)可以看出，当积分步长增大时，位移反应明显增大，而本文方法在不同时间步长下均呈现出稳定的计算结果。
图12 输电塔及尺寸
Fig.12 Tower and dimensions
图13 能量时程曲线
Fig.13 Relationships between energy and time
图14 单元①的应力
Fig.14 Stress of first element
图15 节点A的水平位移
Fig.15 Horizontal displacement of node A
本文结合杆系单元，讨论能量一致积分方法的具体应用形式，经过理论与数值分析得出以下结论:
(1)提出了基于桁架单元的能量一致积分方法，方法具有2阶精度非线性无条件稳定。通过中值定理证明了算法参数解得存在性，并推导离散方程的迭代刚度矩阵，为算法的求解提供理论基础。
(2)完成算法在单摆、输电塔模型动力分析中的应用。算例表明经典平均加速度方法以及隐式中点方法均会出现发散现象，而本文方法表现出良好的数值稳定性。
此外，本文的研究的内容可以进一步扩展应用到考虑大位移的梁单元动力分析，预期成果将为框架结构的动力分析提供稳定、有效的时间积分方法。
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AN ENERGY CONSISTENT INTEGRATION METHOD FOR TRUSS ELEMENTS
PAN Tian-lin1,2, WU Bin2,3
(1. School of Civil Engineering and Architecture, Northeast Electric Power University, Jilin 132012, China;2. School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China;3. School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)
Abstract:Based on the energy equilibrium theory, an energy consistent integration method for truss elements is proposed in this paper. The method is unconditionally stable in nonlinear systems, and its accuracy is second order. The existence of algorithm parameters is proved by mean value theorem, and the solution form of the parameters is also provided. The discrete dynamic equations are linearized to obtain the equivalent stiffness matrices for iteration. The new algorithm is embedded in a nonlinear finite element program. On the basis of this program, the nonlinear dynamic analysis of a single pendulum and a transmission tower structure is completed.The numerical results show that the classic average acceleration method and implicit midpoint method are both energy inconsistent and may even produce divergent results. In contrast, the proposed method has good stability within different time steps.
Key words:engineering mechanics; time integration algorithm; energy-consistent; unconditional stability;average acceleration method; truss elements
作者简介:吴 斌(1970―)，男，湖北人，教授，博士，博导，主要从事结构抗震和防灾减灾研究(E-mail: bin.wu@hit.edu.cn).
通讯作者:潘天林(1984―)，男，辽宁人，讲师，博士，主要从事结构抗震研究(E-mail: pantianlin202@126.com).
基金项目:国家重点研发计划项目(2016YFC0701106)；青年科学基金项目(51808101)；东北电力大学博士科研启动基金项目(BSJXM-2017110)
收稿日期:2017-06-06；修改日期:2018-01-10
文章编号:1000-4750(2018)10-0001-09
doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2017.06.0434
文献标志码:A
中图分类号:TU311.4